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1、第一章 集合11集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念（一）集合的有关概念定义：集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出描述性的说明：某些指定的且不 同的对象集在一起就成为一个集合。我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3. 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.集合的分类5.常用的数集及记法：全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N；非负整数集内排除0的集合称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称为整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有
2、理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R；6.集合中元素的特征 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x+2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 如：a,b,c与c,b,a是同一个集
3、合。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：大于3小于11的偶数；我国的小河流；非负奇数； 方程x2+1=0的解；某校2011级新生； 血压很高的人；7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 例如，我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合，则有3A，4A，等等。（二）例题讲解：例1用“”或“”符号填空： 8 N； 0 N； -3 Z； Q； 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。例2已知集合P的元素为, 若2P且-1P
4、，求实数m的值。练：给出下面四个关系:R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:( )A4个 B3个 C2个 D1个下面有四个命题:若-a,则a 若a,b,则a+b的最小值是2集合N中最小元素是1 x2+4=4x的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是( ）由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?求集合2a,a2+a中元素应满足的条件?若t,求t的值.1.1.2 集合的表示方法一、集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；说明：书写
5、时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；集合中的元素可以为数，点，代数式等；列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为例1用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程的所有实数根组成的集合；描述法
6、：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数，即代表整数集Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集，R也是错误的。例2用描述法表示下列集合：(1) 由适合x2-x-20的所有解组成的集合;
7、(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。练习：1用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数2集合Ax|Z，xN，则它的元素是 。3.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，则集合A、B用列举法表示是 .判断下列两组集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数3、图示法（维恩图）集合的表示除了上述两种方法以外，还有维恩图法，即3,9,27A画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 表示3，9，27表示任意一个集合A 典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A，a,b,B=a,a,ab,且A=B，求实数a，b
8、.、已知集合Aa+2，（a+1)，a+3a+3若1A,求实数a的值。【题型二】元素的特征、 已知集合M=xNZ,求M已知集合C=ZxN,求C点拔：要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数x，满足是整数，集合 C中的元素是整数，满足条件是xN。练习：一、选择题：.给出下列四个关系式：R；Q；0N；0其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4.方程组的解组成的集合是( ) A.2,1 B.-1,2 C.（2,1） D.（2,1）3. 把集合-3x3,xN用列举法表示，正确的是( ) A.3,2,1 B.3,2,1,0 C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,34.
9、下列说法正确的是( )A.0是空集B.xQZ是有限集C.xQx2+x+2=0是空集 D.2,1与1,2是不同的集合 二、填空题：、 以实数为元素构成的集合的元素最多有个；、 以实数a，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有个元素，则的a值为 .、集合M=yZy=,xZ,用列举法表示是M。、已知集合A2a,a2-a，则a的取值范围是。 三、解答题：、设Axx2+(b+2)x+b+1=0,bR求A的所有元素之和。10.已知集合Aa,2b-1,a+2bB=xx3-11x2+30x=0,若A=B，求a,b的值。1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系比较下面几个例子，试发现两个集合之
10、间的关系：（1），； （2），； （3），观察可得：_。子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作：； 读作：A包含于B，或B包含AB A表示： 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：需要注意的几点：真子集：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）.空集：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空： ； 0 ； ； .集合相等：如果集合中的每一个元素都是集合中的元素，同时集合中的每一个元素又都是集合的元素，我们
11、就说集合A等于集合B，记作A=B。5.真子集的个数： 【例题】列举集合的所有子集。 解：含有0个元素的子集有：； 含有1个元素的子集有：，； 含有2个元素的子集有：，； 含有3个元素的子集有：。 共有子集的个数是8个。 结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，非空子集数为，非空真子集数为个。 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。6.几个重要的结论： (1)当集合A不是集合B的子集时，记作AB(或BA)； (2)任何一个集合都是它本身的子集，记作； (3)空集是任何集合的子集，记作； (4)空集是任何非空集合的真子集； (5)对于集合A，B，C，如果，且，那么
12、。 (6)A是B的子集，不能理解为集合是集合中的部分元素组成的集合。说明：注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。练习：填空： 2 N； N； A; 已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x8,xN，则 A B； A C； 2 C； 2 C（二）例题讲解：【题型】集合的子集问题、 写出集合a,b,c的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。、 已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5求满足条件的集合M、 已知集合Ax|x2-2x-3=0,B=x|ax=1若BA，则实数a的值构成的集合是（）A. -1,0, B.-1,0 C.-1, D.,04.设集合A=，aB=2,a2-3a+4且BA，求a的值。5.已知集合且，求实数m的取值范围。 （）练习：1、判断下列集合的关系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0，B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3，B=x
