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1、线性代数总结1范文 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确()r A,nTAnAAAxxAxAAxA AAE?总有唯一解?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0只有零解，0是正定矩阵R12,siAp pppnBABEABE?是初等阵存在阶矩阵使得或注全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()r AAnAAAAxA?不可逆0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的?特征向量注()()abr aEbAnaEbAaEbAx?有非零解=-?)具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似(矩阵合同()关于12,ne ee?称为n的标准
2、基，n中的自然基，单位坐标向量87p教材；12,ne ee?线性无关；12,1ne ee?；tr=E n；任意一个n维向量都可以用12,ne ee?线性表示.行列式的定义12j j1212j j?1112121222()1212()nnnnnjnjjnjjnnnnaaaaaaDa aaaaa?1行列式的计算行列式按行（列）展开定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若AB与都是方阵（不必同阶）,则=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO?1（拉普拉斯展开式）上三角、下三
3、角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线 (1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO?1（即所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式?1212222n111112nijj in?n?n?nnxxxxxxxxxxx?111矩阵的定义由m n?个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa?称为m n?矩阵.记作?ijm n?Aa?或m nA?伴随矩阵?1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA?，ij A为A中各个元素的代数余子式.逆矩阵的求法:1AAA?注1abdb
4、cdcaadbc?1?主换位副变号1()()A E?E A?初等行变换12311a11213aaaaa?321111121a3aaaaa?方阵的幂的性质mnm n?A AA?()()Am nmnA?设,m n?n s?ABA的列向量为12,?n?,B的列向量为12,s?，则m sABC?1112121222121212,?,ssnsnnnsbbbbbbc bbb?iiA?c，(,)si?1,2?i?为iAxc?的解?121212,?,sssAA?A?Ac ?12,sc ?可由12,?n?线性表示.即C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理C的行向量能由B的行向量线性表示，TA为系数
5、矩阵.即1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac?1111221212112222221?12?22n?nmmmnmaaacaaacaaac?用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.分块矩阵的转置矩阵TTTTTABACCDBD?分块矩阵的逆矩阵111AABB?111ABBA?1111ACAA CBOBOB?1111AOA?OCBB CAB?分块对角阵相乘11112222,ABABAB?11112222A
6、 BABA B?,1122nnnAAA?分块对角阵的伴随矩阵*ABABAB?* (1)? (1)?mnmnAA BBBA?矩阵方程的解法(0A?)设法化成AXBXAB?(I)或(II)AB?E X?初等行变换(I)的解法构造()()TTTTA XBXX?(II)的解法将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向
7、量组线性无关114p教材.向量组12,?n?中任一向量i?(1i)n都是此向量组的线性组合.向量组12,?n?线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.向量组12,?n?线性无关?向量组中每一个向量i?都不能由其余n?1个向量线性表示.m维列向量组12,?n?线性相关()r An?；m维列向量组12,?n?线性无关()r An?.若12,?n?线性无关，而12,?,n?线性相关,则?可由12,?n?线性表示,且表示法唯一.矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即
8、是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()r Ar?向量组的秩向量组12,?n?的极大无关组所含向量的个数，
9、称为这个向量组的秩.记作12(,?)nr?矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作AB?向量组等价12,?n?和12,n?可以相互线性表示.记作?1212,?,?nn?矩阵A与B等价?PAQB?，,P Q可逆?()(),r BAB,r AAB?为同型矩阵作为向量组等价,即秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价?1212(?,?)(?,?)nnrr?1212(,?)nnr?矩阵A与B等价.?向量组12,?s?可由向量组12,?n?线性表示?AXB?有解?12(,?)=nr?1212(,?)nsr?12(,?)sr?12(,?)nr?.?向量组12,?s?可由向量组12,?n?线性表示
10、,且sn?，则12,?s?线性相关.向量组12,?s?线性无关,且可由12,?n?线性表示,则sn.?向量组12,?s?可由向量组12,?n?线性表示,且12(,?)sr?12(,?)nr?,则两向量组等价；p教材94,例10?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.?若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?设A是m n?矩阵,若()r Am?，A的行向量线性无关；若()r An?，A的列向量线性无关,即12,?n?线性无关.矩阵的秩的性质()r AAO?若1()r A0AO?若0()m nr
11、 A?min(,)m n()r A()()TTr Ar A A?p教材101,例15()()r ArkAk?若0()rA()r B,()0m n?n s?nABr ABBAx?若若0的列向量全部是的解()r AB?min(),()rAr B()()r B()()r AArABBr AB?若可逆若可逆即可逆矩阵不影响矩阵的秩.若()()r B()m n?Axr ABrAnABOBOAABACBC?只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若(在矩阵乘法中有右消去律.)()r B()n s?r ABrBnB?()r ArrEOEOrAAOOOO?若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.本帖为考研加油站.kaoyan.和考研论坛bbs.kaoyan.网友songhonger原创，原创帖子地址bbs.kaoyan./viewthread.php?tid=2097349&page=1&extra=page%3D1。 内容仅供参考
