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1、二次函数压轴题二次函数压轴题 热点探究 热点探究 类型一 抛物线与三角形的综合问题类型一 抛物线与三角形的综合问题 例题 例题 1 1 如图 1 对称轴为直线 x 的抛物线经过 B 2 0 C 0 4 两点 抛 物线与 x 轴的另一交点为 A 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为第一象限内抛物线上的一点 设四边形 COBP 的面积为 S 求 S 的最大 值 3 如图 2 若 M 是线段 BC 上一动点 在 x 轴是否存在这样的点 Q 使 MQC 为等腰 三角形且 MQB 为直角三角形 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 由对称轴的对称性得出点 A
2、 的坐标 由待定系数法求出抛物线的解析 式 2 作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形 表示出面积 S 化简后是一个 关于 S 的二次函数 求最值即可 3 画出符合条件的 Q 点 只有一种 利用平行相似得对应高的比和对应边的比相 等列比例式 在直角 OCQ 和直角 CQM 利用勾股定理列方程 两方程式组成方程组求解 并取舍 解答 解 1 由对称性得 A 1 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 2 把 C 0 4 代入 4 2a a 2 y 2 x 1 x 2 抛物线的解析式为 y 2x 2 2x 4 2 如图 1 设点 P m 2m 2 2m 4 过 P 作 PD x 轴 垂
3、足为 D S S梯形 S PDB m 2m 2 2m 4 4 2m 2 2m 4 2 m S 2m 2 4m 4 2 m 1 2 6 2 0 S 有最大值 则 S大 6 3 如图 2 存在这样的点 Q 使 MQC 为等腰三角形且 MQB 为直角三角形 理由是 设直线 BC 的解析式为 y kx b 把 B 2 0 C 0 4 代入得 解得 直线 BC 的解析式为 y 2x 4 设 M a 2a 4 过 A 作 AE BC 垂足为 E 则 AE 的解析式为 y x 则直线 BC 与直线 AE 的交点 E 1 4 1 2 设 Q x 0 x 0 AE QM ABE QBM 由勾股定理得 x 2 4
4、2 2 a2 2a 4 4 2 由 得 a1 4 舍 a2 当 a 时 x Q 0 同步练 同步练 如图 已知二次函数 y x 2 bx c b c 为常数 的图象经过点 A 3 1 点 C 0 4 顶点为点 M 过点 A 作 AB x 轴 交 y 轴于点 D 交该二次函数图象于点 B 连结 BC 1 求该二次函数的解析式及点 M 的坐标 2 若将该二次函数图象向下平移 m m 0 个单位 使平移后得到的二次函数图象 的顶点落在 ABC 的内部 不包括 ABC 的边界 求 m 的取值范围 3 点 P 是直线 AC 上的动点 若点 P 点 C 点 M 所构成的三角形与 BCD 相似 请 直接写出
5、所有点 P 的坐标 直接写出结果 不必写解答过程 类型二 抛物线与四边形的综合问题类型二 抛物线与四边形的综合问题 例题 例题 2 2 如图 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是以 AB 为直径的 M 的内接四边 形 点 A B 在 x 轴上 MBC 是边长为 2 的等边三角形 过点 M 作直线 l 与 x 轴垂直 交 M 于点 E 垂足为点 M 且点 D 平分 1 求过 A B E 三点的抛物线的解析式 2 求证 四边形 AMCD 是菱形 3 请问在抛物线上是否存在一点 P 使得 ABP 的面积等于定值 5 若存在 请求 出所有的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题
6、 分析 1 根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标 再利用顶点式求出函数解析 式 2 利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出 AMD CMD AMC 60 进而 得出 DC CM MA AD 即可得出答案 3 首先表示出 ABP 的面积进而求出 n 的值 再代入函数关系式求出 P 点坐标 解答 1 解 由题意可知 MBC 为等边三角形 点 A B C E 均在 M 上 则 MA MB MC ME 2 又 CO MB MO BO 1 A 3 0 B 1 0 E 1 2 抛物线顶点 E 的坐标为 1 2 设函数解析式为 y a x 1 2 2 a 0 把点 B 1 0 代入 y a x 1 2
7、2 解得 a 故二次函数解析式为 y x 1 2 2 2 证明 连接 DM MBC 为等边三角形 CMB 60 AMC 120 点 D 平分弧 AC AMD CMD AMC 60 MD MC MA MCD MDA 是等边三角形 DC CM MA AD 四边形 AMCD 为菱形 四条边都相等的四边形是菱形 3 解 存在 理由如下 设点 P 的坐标为 m n S ABP AB n AB 4 4 n 5 即 2 n 5 解得 n 当时 m 1 2 2 解此方程得 m1 2 m2 4 即点 P 的坐标为 2 4 当 n 时 m 1 2 2 此方程无解 故所求点 P 坐标为 2 4 同步练 同步练 已知
8、如图 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A B C 分别为坐标轴上上的三个点 且 OA 1 OB 3 OC 4 1 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P 使得以以点 A B C P 为顶点的四 边形为菱形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若点 M 为该抛物线上一动点 在 2 的条件下 请求出当 PM AM 的最大值时 点 M 的坐标 并直接写出 PM AM 的最大值 类型三 抛物线与图形变换的综合问题类型三 抛物线与图形变换的综合问题 例题 例题 3 3 如图 在平面直角坐标系中 点 O 为坐标原点 抛物线 y ax
9、 2 bx 5 经过点 M 1 3 和 N 3 5 1 试判断该抛物线与 x 轴交点的情况 2 平移这条抛物线 使平移后的抛物线经过点 A 2 0 且与 y 轴交于点 B 同 时满足以 A O B 为顶点的三角形是等腰直角三角形 请你写出平移过程 并说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 把 M N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a b 的值 可求得抛物线 解析式 再根据一元二次方程根的判别式 可判断抛物线与 x 轴的交点情况 2 利用 A 点坐标和等腰三角形的性质可求得 B 点坐标 设出平移后的抛物线的解析 式 把 A B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式 比较平移前后抛物线的顶
10、点的变 化即可得到平移的过程 解答 解 1 由抛物线过 M N 两点 把 M N 坐标代入抛物线解析式可得 解得 抛物线解析式为 y x 2 3x 5 令 y 0 可得 x 2 3x 5 0 该方程的判别式为 3 2 4 1 5 9 20 11 0 抛物线与 x 轴没有交点 2 AOB 是等腰直角三角形 A 2 0 点 B 在 y 轴上 B 点坐标为 0 2 或 0 2 可设平移后的抛物线解析式为 y x 2 mx n 当抛物线过点 A 2 0 B 0 2 时 代入可得 解得 平移后的抛物线为 y x 2 3x 2 该抛物线的顶点坐标为 而原抛物线顶点坐标为 将原抛物线先向左平移 3 个单位
11、再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物 线 当抛物线过 A 2 0 B 0 2 时 代入可得 解得 平移后的抛物线为 y x 2 x 2 该抛物线的顶点坐标为 而原抛物线顶点坐标为 将原抛物线先向左平移 2 个单位 再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物 线 同步练 同步练 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 左侧 与 y 轴交于点 C 抛物线的顶点为点 E 1 判断 ABC 的形状 并说明理由 2 经过 B C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D 点 P 为直线 BC 上方抛物线上的 一动点 当 PCD 的面积
12、最大时 Q 从点 P 出发 先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上 点 M 处 再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处 最后沿适当的路径运动 到点 A 处停止 当点 Q 的运动路径最短时 求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长 3 如图 2 平移抛物线 使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动 点 E 平移后的对应 点为点 E 点 A 的对应点为点 A 将 AOC 绕点 O 顺时针旋转至 A1OC1的位置 点 A C 的对应点分别为点 A1 C1 且点 A1恰好落在 AC 上 连接 C1A C1E A C1E 是否 能为等腰三角形 若能 请求出所有符合条件的点 E 的坐标
13、 若不能 请说明理由 类型四 抛物线下的动态最值问题类型四 抛物线下的动态最值问题 例题 例题 4 4 如图 抛物线经过 A 1 0 B 5 0 C 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上有一点 P 使 PA PC 的值最小 求点 P 的坐标 3 点 M 为 x 轴上一动点 在抛物线上是否存在一点 N 使以 A C M N 四点构成 的四边形为平行四边形 若存在 求点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 设抛物线的解析式为 y ax 2 bx c a 0 再把 A 1 0 B 5 0 C 0 三点代入求出 a b c 的值即可 2 因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的
14、坐标为 5 0 连接 BC 交对称轴直线于点 P 求出 P 点坐标即可 3 分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论 解答 解 1 设抛物线的解析式为 y ax 2 bx c a 0 A 1 0 B 5 0 C 0 三点在抛物线上 解得 抛物线的解析式为 y x 2 2x 2 抛物线的解析式为 y x 2 2x 其对称轴为直线 x 2 连接 BC 如图 1 所示 B 5 0 C 0 设直线 BC 的解析式为 y kx b k 0 解得 直线 BC 的解析式为 y x 当 x 2 时 y 1 P 2 3 存在 如图 2 所示 当点 N 在 x 轴下方时 抛物线的对称轴为直线 x 2 C 0
15、 N1 4 当点 N 在 x 轴上方时 如图 过点 N2作 N2D x 轴于点 D 在 AN2D 与 M2CO 中 AN2D M2CO ASA N2D OC 即 N2点的纵坐标为 x 2 2x 解得 x 2 或 x 2 N2 2 N3 2 综上所述 符合条件的点 N 的坐标为 4 2 或 2 点评 本题考查的是二次函数综合题 涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数 的解析式 平行四边的判定与性质 全等三角形等知识 在解答 3 时要注意进行分类讨 论 同步练 同步练 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax 2 bx c 与 M 相交于 A B C D 四点 其中 A B 两点的坐标分别为 1
16、 0 0 2 点 D 在 x 轴上且 AD 为 M 的直径 点 E 是 M 与 y 轴的另一个交点 过劣弧上的点 F 作 FH AD 于点 H 且 FH 1 5 1 求点 D 的坐标及该抛物线的表达式 2 若点 P 是 x 轴上的一个动点 试求出 PEF 的周长最小时点 P 的坐标 3 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使 QCM 是等腰三角形 如果存在 请直接 写出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 类型五 抛物线下的动态存在问题类型五 抛物线下的动态存在问题 例题 例题 5 5 如图 直线 y x 2 与抛物线 2 6yaxbx a 0 相交于 A 1 2 5 2 和 B 4 m 点 P 是线段 AB 上异于 A B 的动点 过点 P 作 PC x 轴于点 D 交抛物线于点 C 1 求抛物线的解析式 2 是否存在这样的 P 点 使线段 PC 的长有最大值 若存在 求出这个最大值 若 不存在 请说明理由 3 求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 思路分析 此题主要考查了二次函数解析式的确定 二次函数最值的应用以及直角三角形的判 定 函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系
