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1、1.设随机变量 X 的概率分布为X 1 2 3 4p 1/8 1/4 1/2 1/8求 E(X),E(X2),E(X+2)2.解. 由离散型随机变量的数学期望公式可知E(X)=11/8+21/4+31/2+41/8=21/8;E(X2)= 121/8+221/4+321/2+421/8=61/8;E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=61/8+421/8+4=177/8.2.某种产品共有 10 件,其中有次品 3 件.现从中任取 3 件,求取出的 3 件产品中次品数X 的数学期望和方差.解.由题意可知,随机变量 X 的取值范围是 0, 1, 2, 3,且取这些值的概
2、率为; ; .因此 E(X)=07/24+121/40+27/40+31/120=9/10;E(X2)=027/24+1221/40+227/40+321/120=13/10; D(X)=E(X2)-(E(X)2=13/10-(9/10)2=49/100.3.一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品,在安装机器时,从这批零件中任取 1 个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解. 随机变量 X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.所以 X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为P(X=0)=9/12=3/4 ; ; .所以由
3、数学期望公式得到E(X)=03/4+19/44+29/220+31/220=0.3 ;E(X2)= 023/4+129/44+229/220+321/220=9/22 ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=9/22-0.32=0.319.4.射击比赛,每人射四次(每次一发), 约定全部不中得 0 分,只中一弹的得 20分,中两弹得 40 分,中三弹得 70 分,中四弹得 100 分.某人每次射击的命中率均为 3/5,求他得分的数学期望.解. 随机变量 X 表示此人的得分.根据题意,可得,.所以 =54.05.5.设随机变量 X 的概率分布密度函数为,求 X 的数学期望和方差.解. 根据连续型
4、随机变量的数学期望和方差公式可知;又因为 ; D(X)=E(X2)-(E(X)2= 2/12-1/2 .6.设随机变量 X 的概率分布密度函数为.求 X 的数学期望和方差.解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知,又根据密度函数的性质 得到 A=15/16 即 E (X)=1.又 ; D(X)=E(X2)-(E(X)2=8/7-1=1/7.7.设随机变量 X 的概率分布密度函数为解. 显然常数 a0.由密度函数的性质 可知, 且已知方差 D(X)=1, 求常数 a 和 b.根据数学期望公式得到; 由已知 D(X )=E(X2)-(E(X)2=a3b/6=1 解方程得到 .8.设随机变量 X 的概率分布密度函数为, 求 X 的方差.解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知 D(X )=E(X2)-(E(X)2=1/6-0=1/6.
