《福建中学数学 简单分式型三角函数最值值域 问题的求解策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建中学数学 简单分式型三角函数最值值域 问题的求解策略（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、38福建中学数学2015年第2期 简单分式型三角函数最值 值域 问题的求解策略简单分式型三角函数最值 值域 问题的求解策略 肖笃光江西省吉安市泰和中学 343700 三角函数的最值 值域 问题是每年高考重点 考查的知识点之一 它不仅与三角函数自身的常见 的基础知识密切相关 而且与代数及一些几何中的 有关知识有密切联系 而分式型三角函数的最值 值 域 问题却是这类问题的难点 这类考题综合性强 解法灵活 对能力要求较高 本文结合全国各省市 历年高考试卷中涉及分式型三角函数最值 值域 问题 归纳其解题策略 以提高同学们的思维能力 和解题能力 策略策略 1 反求函数和函数有界性相结合 例例 1 求函数
2、 4sin 3 2sin1 x y x 的值域 解解 原函数可变形为 3 sin 24 y x y 由 sin 1x 得到 324yy 两边平方并整理 得 2 32270yy 解之得7y 或 1 3 y 所以原函数的值域为 1 7 3 点评点评 上述解法第一步进行的是用y来表示x 这与求反函数的思路是一致的 进而利用正弦函数 的有界性求出y的范围 即为函数的值域 策略策略 2 分离常量和部分分式分析相结合 例例 2 同例 1 解解 原函数可化为 5 2 2sin1 y x 由1sin1x 得到 32sin11x 且2sin10 x 当32sin10 x 时 11 2sin13x 则 55 2s
3、in13x 从而 51 2 2sin13x 即 1 3 y 当02sin11x 时 1 1 2sin1x 则 5 5 2sin1x 从而 5 2 7 2sin1x 即7y 综上所述 原函数的值域为 1 7 3 点评点评 上述解法首先进行的是分离常数变形 所 以这种方法有的书上也叫做分离常数法 策略策略 3 构造辅助角和函数有界性相结合 例例 3 已知 0 2 x 求函数 2 2sin 1 sin2 x y x 的最 小值 解解 原函数可化为 2cos2 sin2 x y x 去分母得 sin2 cos22yxx 由辅助角公式可得 2 1sin 2 2 yx 令 cot y 即 2 2 sin
4、2 1 x y 由正弦函数的有 界性 sin 2 1x 可得到 2 21y 两边平方得 2 3y 解之得3y 或3y 所以原函数的最小值为 min 3y 点评点评 形如 sin cosyab 的函数 在研究其 性质时 往往借助于三角恒等变形合成某个角的三 角函数 其方法是 提取 22 ab 增设辅助角 逆用和与差的正余弦公式 策略策略 4 化归转化和基本不等式相结合 例例 4 同例 3 解解 原函数可变为 22 3sincos 2sin cos xx y xx 因为 0 2 x 所以cos0 x 上式分子分母同时除以 2 cos x 可得 2 3tan13tan 1 2tan22tan xx
5、y xx 3tan1 23 22tan x x 当且仅当 3tan1 22tan x x 即 6 x 时等号成立 2015年第2期福建中学数学39 所以当 6 x 时 min 3y 点评点评 利用用基本不等式求函数的最值时 要注 意等号成立的条件 策略策略 5 整体换元和函数单调性相结合 例例 5 已知函数 1 sin cos sin cos yxx xx 0 x 2 求y的最小值 解解 令 1 sin cossin2 2 uxxx 由于 0 2 x 所以2 0 x 则 1 0 2 u 故 1 yu u 1 0 2 u 因为 1 yu u 在上 1 0 2 u 是减函数 所以当 1 2 u 时
6、 min 15 2 22 y 点评点评 解决某些三角函数问题时 引入换元思想 会起到一些意想不到的效果 策略策略 6 分类讨论和 判别式相结合 例例 6 求函数 2 2 tan 2tan2 y xx 的值域 解解 原函数可变为 2 tan 2 tan220yxyxy tan x R 当0y 时 20 显然不成立 所以0y 从而由0 可得到 2 44 22 0yyy 即 2 20yy 解得02y 因为0y 所以02y 从而得到原函数的值域为 0 2 y 点评点评 运用判别式法求分式型三角函数的值域 时 首先要保证自变量取自身的范围 其次去分母 变形后所得到二次方程 要讨论二次项系数为零与 不为零
7、的情况 策略策略 7 1 的代换和基本不等式相结合 例例 7 已知 0 2 x 求函数 116 sin1 sin f x xx 的最小值 解解 由于sin 1 sin 1xx 所以 116 sin 1 sin sin1 sin f xxx xx 1sin 16sin 17 sin1 sin xx xx 因为 0 2 x 所以0sin1x 且01 sin1x 因此 1sin 16sin 17 sin1 sin xx f x xx 1 sin 16sin 17225 sin1 sin xx xx 当且仅当 1 sin 16sin sin1 sin xx xx 即 1 sin 5 x 时等号成立 所
8、以当 1 sin 5 x 时 min 25fx 点评点评 若两个正数的和或积为 1 时 可把待求问 题中的 1 等价代换成两个正数的和或积的代数式 从而达到运用基本不等式来求函数最值的目的 策略策略 8 局部换元和分类讨论相结合 例例 8 设1a a 均为实数 试求当 变化 时 函数 sin 4sin 1 sin a f 的最小值 解解 令1 sinx 则 0 2 x 从而原函数可变为 1 3 3 1 2 xaxa yxa xx 由1a 可知 3 1 0a 若03 1 2a 即 7 3 a 1时 min 2 3 1 2yaa 若 3 1 2a 即 7 3 a 时 由于 3 1 a xx x g 在 0 2 上单调递减 所以 min 3 1 5 22 1 22 a yaa 综上所述 min 7 2 3 1 1 1 3 57 1 22 aaa f aa 点评点评 解含字母或参数的数学问题时 通常要对 其进行分类讨论
