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1、定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算连续曲线及轴所围成的平面图形面积为 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为： . 连续曲线及轴所围成的平面图形面积为 由方程与以及所围成的平面图形面积为 例计算两条抛物线与所围成的面积解求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：得交点(0,0)和(1,1)选取为积分变量，则积分区间为，根据公式(1) ，所求的面积为图3一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图
2、，求曲线的交点，确定积分变量和积分限 (2) 写出积分公式(3) 计算定积分 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间: -2, 4. (3)确定左右曲线: . (4)计算积分. 例3 求在区间,2 上连续曲线 y=ln x ,x轴及二直线 x =,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。解：已知在,2 上，ln x 0 ; 在区间 1 , 2 上，ln x 0 ,则此区域的面积为：A = = + = + = .例4 求抛物线 y2=x 与x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。解： 该平面图形如图所示
3、.先求出抛物线与直线的交点P(1 ,-1)与Q（9,3）.用x=1把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为：= .= .所以 .本题也可把抛物线方程和直线方程改写成:x=y2 =1(y), x=2y+3=2(y), y-1 ,3.并改取积分变量为y，便得：A= .例5 求由两条曲线y=x2,y= 和直线y=1围成的平面区域（如图5）的面积.解法一：此区域关于y轴对称，其面积是第一象限那部分面积的二倍。在第一象限中，直线y=1与曲线y=x2 与y= 的交点分别是（1,1）与（2,1）.此区域的面积为： .解法二：将y轴看作是自变数。在第一象限的那部分区域是由曲线 , 和直线y=
4、1所围成（y作自变数）。此区域的面积为： 例6 求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线 与直线， (2)圆 .解 (1)先画图，如图所示，并由方程， 求出交点为（2，），（8，2）.解一 取为积分变量,的变化区间为，2，在区间，2上任取一子区间，+ ，则面积微元 =, 则所求面积为 = = （）=9.解二 取为积分变量，的变化区间为0，8，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成0，2，2，8两部分完成.在区间0，2上任取一子区间， +，则面积微元 1=,在区间2，8上任取一子区间， +， 则面积微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 图4例7求由曲线与直线所围成的平面图形的面积解作图
5、(图4)，解方程组得两条曲线的交点坐标为(2,-2)，(8,4)选取为积分变量，积分区间为-2,4根据公式(2) ，所求的面积为 =18练习题解答 1求由曲线与直线所围图形的面积。 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解： 见图6-2-101图6-2-1所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：） （） 2求在区间0，/2上，曲线与直线、所围图形的面积解：见图6-2-20图6-2-21所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：） （ ）3求由曲线与所围图形的面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-304图
6、6-2-3两条曲线的交点：，所围区域D表达为Y-型：，（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：）4求由曲线与直线及所围图形的面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-501图6-2-521两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于 、所围区域表达为X-型：，5抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为0图6-2-602两条曲线、的交于（舍去的解）， 所围区域表达为Y-型：；又图形关于x轴对称， （其中） 7求由
7、曲线、与直线所围图形的面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-701图6-2-71两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于 和所围区域表达为X-型：，8求由曲线与直线及所围图形的面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-801图6-2-8在的定义域范围内所围区域：，9求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为，（由于下弯，所以），将（1，2）代入，得到，因
8、此 该抛物线和X轴的交点为和，所围区域：得到唯一极值点：，所求抛物线为： 10求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：，在任一点处的切线方程为而过（0，0）的切线方程就为：，即所求图形区域为, X-型下的：，：11设直线y=ax与抛物线所围成的面积为，它们与直线x=1所围成的图形面积为，并且a1.确定a的值，使达到最小，并求出最小值。 解：(1) 当0 a1时，当时， 2求变力做功的方法1、有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下被压缩3cm，求外力所做的功.解 根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力与伸长量（压缩量）成正比，即= （为弹性系数）按假设 当 =0.005m时 ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有 =200,所以取为积分变量，的变化区间为0，0.03，功微元为 =200,于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为 =0.09（J）.
