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1、 第五章特征值、特征向量、矩阵的相似$5.1矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质yF一、特征值与特征向量的概念定义1“设4江复数域上的“粉矩阵,如果存在复数力和非零的r维列向量X使得A4Ko二办友则称是.的一个特征值,X是-牢属于(或对应于)特征值4的特征向量。说明D特征向量友孙0.2)特征值问题只对方阵而言.二二一巳_一巳人一巳人匕20余河传,所以2是-牢一个特征值,X=|1属-牢属于0特征值2的特征向量。二、特征值和特征向量的性质性质1若X,X,是牢属于同一个特征值2的特征向量,且X+X,丿0则X+X习是.李属于加的特征向量。证明:4(X+XX)=4X
2、+4X,二办又+力又井力(X+友)性质2若X,是红属于特征值4的特征向量,x为任意非零常数,则KX习是牢属于特征值河特征向量。证明:因为KXo,丿0,4(KEK)=K(L4Xo)=f(力Xo)=力(KEK0),结论成恩注:更一般地,若,X,.,爻是的属于同一特征值的特征向量,则用友土厂又,十十无又(大0)仍是.牢属于特征值A阡特征向量.性质3若2是矩阵4的特征值,X是4的属于2的特征向量,觊(D史是4的特征值(m是任意自然数)G)当4可逗时,士是4的特征值证明(0).4X=A2X4(4X)=4(XX)=A(4X)=A(XAX)二少五二友友再继续施行上述步骤加一2次,就得4“X=“又故7是矩阵4
3、“的特征值,且X是4“对应于2的特征向量.Q)当4可逗时,0,由4X=AX可得4(4X)=4d(4X)=A41X丿工=A4AX-41友二X又故4是矩阵4“的特征值,且X是4对应于元的特征向量.Pase6注:当4可逆时,性质3中w可以为整数。事实上,设4为-豹特征值,f(x办多项式,则f()为f(4)的特征值.定义2设4=(ay),为“脘矩阵,功一个数,称25-4加4的特征矩阵,称特征矩阵的行列式几一ll一lZL一h一al元一a二一GouMMMM二儿一,f(0=|25-刃=一Q为4的特征多项式。A一r】zPase7性质4X,是4属于A的特征向量X是齐次线性方程组(E-4)X=的非零解。证明:叉,
4、丿0,4Xo=力又,人力X一4X,=0,X丿0仑(mE-少X=0,X丿0由性质4与齐次线性方程组有非零解的充分必要条件立即得:性质5A是前特征值|E-切=0即2暗特征多项式f(力=|25-4的根。三、特征值与特征向量的求法由特征值和特征向量的性质45得求矩阵特征值与特征向量的步骤:1.计算牵特征多项式|15-华2.求|2E-刃=0的全部根力,元,.,丿,就是振全部特征值:3.对于特征值丿,求齐次方程组(45一刃五=0的非零解,就是对应于2的特征向量.一2工例1设4=|020一4工3;求4的特征值与特征向量.解2+21。1|2E-切=|0A-20413=(A+D(-2八,急(+D(A-2广=0得4的特征值为丿七一h二加二2.
