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1、 2 5等比数列前n 细节决定成败态度决定一切 1 复习 2 预备知识 Sn a1 a2 anSn 1 a1 a2 an 1 n 2 an Sn Sn 1 n 2 你能得出吗 3 4 问题 如何来求麦子的总量 得 2S64 2 22 23 263 264 错位相减得 S64 264 1 1 8 1019 即求 1 2 22 263的和 令 S64 1 2 22 262 263 以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨 麦粒总质量达7000亿吨 国王是拿不出的 5 得 由此得q 1时 等比数列的前n项和 说明 这种求和方法称为错位相减法 6 当q 1时 显然 当q 1时 7 等比数列的前n项和
2、表述为 8 已知a1 n q时 已知a1 an q时 等比数列的前n项和公式 9 1 等比数列前n项和公式 等比数列前n项和公式你了解多少 2 等比数列前n项和公式的应用 1 在使用公式时 注意q的取值是利用公式的前提 在使用公式时 要根据题意 适当选择公式 利用 错位相减法 推导 10 例1 求下列等比数列前8项的和 11 说明 12 1 数列 2n 1 的前99项和为 A 2100 1B 1 2100C 299 1D 1 299 答案 C 13 2 在等比数列 an 中 已知a1 3 an 96 Sn 189 则n的值为 A 4B 5C 6D 7 答案 C 14 3 已知等比数列 an 中
3、 an 0 n 1 2 3 a2 2 a4 8 则前5项和S5的值为 答案 31 15 4 求Sn x 2x2 3x3 nxn x 0 16 17 一 用等比定理推导 当q 1时Sn na1 因为 所以 合比定理 18 Sn a1 a2 a3 an 1 an a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1 q a1 a1q a1qn 3 a1qn 2 a1 qSn 1 a1 q Sn an 递推公式 19 答案 B 20 2 在等比数列 an 中 公比q 2 S5 44 则a1的值为 A 4B 4C 2D 2答案 A 21 3 在等比数列 an 中 已知a1 a2 an 2n 1 则
4、a12 a22 an2等于 22 4 设数列 an 是等比数列 其前n项和为Sn 且S3 3a3 求公比q的值 23 分析 第1年产量为5000台 第2年产量为 5000 1 10 5000 1 1台 第3年产量为 5000 1 10 1 10 则n年内的总产量为 24 解 25 26 27 28 29 30 分析 由题目可获取以下主要信息 已知等比数列的前3项和前6项的和 求其通项 解答本题可直接利用前n项和公式 列方程求解 31 32 点评 在等比数列 an 的五个量a1 q an n Sn中 a1与q是最基本的元素 在条件与结论间的联系不明显时 均可以用a1与q列方程组求解 33 迁移变
5、式2设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S3 S6 2S9 求公比q的值 34 35 36 37 点评 在求含有参数的等比数列的前n项和时 容易忽略对a 1和q 1的讨论 从而丢掉一种情况 38 39 40 41 如图1 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度 在以后的每一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80 这个热气球上升的高度能超过125m吗 42 分析 通过仔细审题 抓住 在以后每一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80 这一 题眼 从而构造出等比数列模型 热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列 于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n项和 利用公式
6、即可 43 44 45 迁移变式4如果某人在听到喜讯后的1h后将这一喜讯传给2个人 这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人 如果每人只传2人 这样继续下去 要把喜讯传遍一个有2047人 包括第一个人 的小镇 所需时间为 A 8hB 9hC 10hD 11h 46 解析 设第n个小时后知道喜讯的总人数为Sn Sn 1 2 22 2n 2n 1 1 2047 n 10 故选C 答案 C 47 48 2 因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不同的公式 所以若公比为字母时 应进行分类讨论 这也是由公式的适用范围引发的分类讨论的典型例子之一 49 50 51 52 53 54 55 题后感
7、悟 在等比数列 an 的五个量a1 q an n Sn中 a1与q是最基本的元素 在条件与结论间的联系不明显时 均可以用a1与q列方程组求解 56 1 在等比数列 an 中 a1 an 66 a2an 1 128 前n项和Sn 126 求n和q 57 58 59 60 已知等比数列 an 中 前10项和S10 10 前20项和S20 30 求S30 61 62 63 题后感悟 等比数列前n项和的常用性质 1 片断和 性质 等比数列 an 中 公比为q 前m项和为Sm Sm 0 则Sm S2m Sm S3m S2m Skm S k 1 m 构成公比为qm的等比数列 即等比数列的前m项的和与以后依
8、次m项的和构成等比数列 64 3 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为Sn 若Sn 2 S3n 14 则S4n等于 A 80B 30C 26D 16 65 解析 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n成等比数列 S2n Sn 2 Sn S3n S2n S2n 2 2 2 14 S2n 解得S2n 6又 S3n S2n 2 S2n Sn S4n S3n 14 6 2 6 2 S4n 14 S4n 30 故选B 答案 B 66 已知等比数列的首项为1 项数为偶数 其奇数项的和为85 偶数项的和为170 求这个数列的公比与项数 由题目可获取以下主要信息 等比数列的奇数项与偶数项分别
9、依次构成等比数列 当项数为2n时 S偶 S奇 q 解答本题的关键是设出项数与公比 然后建立方程组求解 67 得q 2 代入 得22n 256 解得2n 8 所以这个数列共8项 公比为2 68 69 4 等比数列 an 共2n项 其和为 240 且奇数项的和比偶数项的和大80 求该数列的公比q 70 求数列1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1的前n项和 a 0 由题目可获取以下主要信息 数列的通项公式an 2n 1 an 1 每一项可分成两个因式 由前一个因式可构成等差数列 后一因式可构成等比数列 解答本题可选用错位相减法求数列的和 71 72 题后感悟 错位相减法一般来说 如果数列 a
10、n 是等差数列 公差为d 数列 bn 是等比数列 公比为q 则求数列 anbn 的前n项和就可以运用错位相减法 73 在运用错位相减法求数列的和时 要注意以下四个问题 1 注意对q的讨论 在前面的讨论中 我们已知q是等比数列 bn 的公比 所以q 0 但求和Sn 1 2x 3x2 nxn 1时 就应分x 0 x 1和x 0且x 1三种情况讨论 2 注意相消的规律 3 注意相消后式子 1 q Sn的构成 以及其中成等比数列的一部分的和的项数 4 应用等比数列求和公式必须注意公比q 1这一前提条件 如果不能确定公比q是否为1 应分两种情况讨论 这在以前高考中经常考查 74 75 76 1 在运用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点 1 在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1 an n q Sn五个量 知道其中任意三个量 都可求出其余两个量 77 3 在公比为字母参数的等比数列求和时 应分q 1与q 1两种情况进行讨论 78 79 80 81 82 83 84 85 86 练考题 验能力 轻巧夺冠 87 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好 88
