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1、高中解析几何教学策略数学史的视角李铁安 宋乃庆【摘要】充分发挥数学史对数学教育的作用和功效，应全面深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的科学与文化要素，并应用于具体的数学教学笛卡尔解析几何思想是一个整体文化系统以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材，制订高中解析几何教学策略，可以有效地促进高中解析几何教学，从而更好地实现课程目标基于笛卡尔数学思想，可制订如下具体的教学策略：（1）整体文化驱动；（2）核心概念统领；（3）思想结构分拆整合；（4）双向模式转化关键词：数学史 笛卡尔 解析几何 1 导 言立足于数学史的视角审思数学，对认识、理解数学教育具有启发意义数学史有机地融入到数学教育中也是
2、数学新课程的基本理念之一要充分发挥数学史对数学教育的作用和功效，应全面深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的科学与文化要素，并应用于具体的数学教学本文通过分析挖掘笛卡尔解析几何思想的科学与文化内涵，并基于笛卡尔数学思想，提出高中解析几何教学的若干策略2 高中解析几何课程与教学现状概述高中解析几何课程是一门以解析几何学的基本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面几何问题的学科课程内容主要包括空间坐标系、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐标等这些内容是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解析几何、线性代数和
3、微积分的基础高中解析几何课程在整个初等数学中占据非常重要的地位高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也有广泛的应用同时，在解决解析几何问题过程中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等思想方法，高中解析几何可谓数学思想的“战场”所以，高中解析几何课程具有培养学生数学综合能力的功效而且，解析几何学是17 世纪数学发展的重大成果之一，对数学的发展产生了重要影响，它的创立在数学发展史上具有划时代意义也蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神、思想和方法，个性品质以及发明创造的思维线索和心
4、理历程因此，高中解析几何课程更具有丰富的文化价值和教育价值，是提高学生科学素养和整体文化认知水平的一个典型范例然而，目前高中解析几何课程在实施过程中没有全面、完整、准确、有效地实现课程目标调查结果表明，高中解析几何教学还存在诸多问题主要表现在如下几个方面：（1）教师对解析几何课程的本质及其教学宗旨存在一定的偏颇或欠缺；（2）课程目标和教学内容偏窄；（3）课程目标与教学实际背离；（4）教学方式单一，课堂缺乏探究与交流；（5）学生对解析几何课程的理解肤浅，学习兴趣初浓渐淡；（6）高考评价导向存在一定的偏颇或欠缺具体地，绝大多数教师往往认为解析几何的学科性质是偏重于代数的，学生学习解析几何的宗旨就是
5、要学会代数计算和代数方法；课程目标就是让学生学会列方程，熟练解方程，即使注重数形结合这一核心思想，也侧重于几何问题代数化这单一的方面；教学上偏重于列方程和解方程，以训练算法为主，靠做大量习题提高代数技巧，忽视对代数结果的几何含义分析，忽视几何方法的简洁性和有效性，甚至有去几何化的倾向，很少介绍解析几何产生的背景，笛卡尔创立解析几何的思想方法，它在数学史中的独特地位，以及这一学科的巨大威力对解析几何这种简单的处理，使许多学生在解析几何课程学习中没有感受到它的科学价值、文化价值和教育价值；学生学习方法单调，思维方式单一，沉湎于机械训练，直觉思维和创造力受阻，学习兴趣初浓渐淡，终因难而厌不容忽视的是
6、，高考数学试题中解析几何的内容也多以列方程、解方程的题材为主，学生在高考中，涉及解析第2 期 李铁安等：高中解析几何教学策略数学史的视角 91几何内容的题目的得分从总体上看并不低，这也在客观上影响了目前高中解析几何教学的导向改变目前高中解析几何课程与教学的现实境况，探索如何在数学新课程理念下科学、有效地实施解析几何课程，就显得十分必要而迫切一种可行的策略是充分借助数学史的力量通过分析挖掘笛卡尔创立解析几何过程中体现的数学思想，并基于笛卡尔数学思想制订教学若干策略，可以有效地促进高中解析几何教学，从而更好地实现课程目标3 笛卡尔解析几何思想的内涵数学文化学的视角数学文化学是指从文化这样一个特殊的
7、视角认识、理解、分析数学由于影响数学发展的文化因素是多方面的，数学也具有广泛的文化特征与文化价值，所以，数学文化学就从更为广泛的角度指明了影响数学历史发展的各个因素，而且也直接涉及了对于数学本质及其价值的认识1数学文化学是数学史研究的一个重要范式通过数学文化学分析数学，既可以厘清影响数学发展的各个因素，也可以充分解析出数学的文化价值以数学文化学为分析框架分析笛卡尔创立的解析几何，本文认为，笛卡尔解析几何思想是一个整体文化系统具体从以下6 个方面体现：（1）历史渊源：文化全面复兴；生产高度发展；科学和数学本身提出了大量问题；数学观和数学方法论发生了重大变化（2）数学结构：笛卡尔解析几何思想的数学
8、结构由核心概念，基本方法，数学原理3 个层次构成核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理（或化归原则）笛卡尔解析几何思想的数学结构是其整体文化系统的核心（3）科学价值：将变量和坐标观念引入了数学，开创了近现代数学的先河；提出了一切问题都可以归结为解方程问题的“通用数学”方案，开创了机械化的数学计算方法；提出了将数学作为一种方法科学的直观演绎法的方法论，使科学方法论实现了革命性的突破（4）哲学表现：反映了客观世界的3 方面特征运动变化性，普遍联系性，永恒统一性；呈3 个方法层次具体化的数学方法，一般化的科学方法，普适化的哲学方法（5）认识模式：问题解决的
9、思维线索依直觉思维抽象思维演绎思维归纳思维而进行；创造的心理历程按照观念选择审美直觉有用提取有效组合的心理逻辑展开（6）个性品质：理性化的哲学素养和统一化的数学信念；怀疑、批判的创新精神和合理继承前人成果的包容精神；对数学简约美、和谐美和统一美的审美追求作为一个整体文化系统的笛卡尔解析几何思想，其中的每一个子系统之间是互相关联的（见图1）图1 笛卡尔数学思想的内涵4 高中解析几何教学策略基于笛卡尔数学思想的视角4.1 策略一整体文化驱动文化驱动的概念可以界定为：以文化所固有的力量推动人的发展这里的整体“文化驱动”策略就是指在高中解析几何课程教学的启动环节，以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材驱动教
10、学4.1.1 文化驱动数学教学的意义与功能（1）文化驱动教学可以内化学生精神空间的开豁度教育的主题是唤醒人的超越性，超越需要开阔的精神空间崇高的信念、理性的素质、高尚的情感是课程内容中的文化精髓，对于学生，这些因素的相互渗透、化通，可以拓展精神空间的高度，支撑精神空间的结构，涵育精神空间的厚度，并最终整合成一个有力的精神性存在精神空间的开豁度是科学创造的重要因素，牛顿、爱因斯坦，包括本文所涉及的笛卡尔等科学史上诸多具有非凡创造力的科学家，他们之所以能够创造出划时代的科学成就，其中一个很重要的因素就是具有比常人更崇高的信念，更深邃的洞察力和更辽远的视野所以，文化驱动教学可以内化学生精神空间的开豁
11、度，更好地实现精神超越从而，提升人的创新素养和创造能力（2）文化驱动教学可以促进学生整体认知结构的形成与发展现代认知心理学认为，兴趣、性格、动机、情感、意志等基本心理因素相互作用，构成个体学习过程的心理环境和认知驱力，它是影响意识指向的直接环境和内在动力那么，如何让这种内在动力启动起来呢？就是充分利用课程本身的诱因（incentive）价值所谓诱因，即一切能引起机体产生动机性行为的外部刺激2课程本身的诱因价值可以驱动学生的学习3利用课程中广泛的文化要素，可以为学生提供一个庞大的信息资源，直接刺激学生学习过程的心理环境，对学生学习兴趣、动机，品质等非智力因素和学生的感知、注意、思维、想象等智力因
12、素的形成与发展都会产生积科学价值认识模式历史渊源个性品质数学结构哲学表现笛卡尔数学思想的内涵（一个整体文化系统）极影响因此，文化驱动教学可以促进学生整体认知结构的形成与发展（3）文化驱动数学教学可以全面提升学生的数学素养文化是数学的基本特征高度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性、不断累积性、永恒竞智性、审美驱动性、和谐统一性及它们之间的交互作用构成了庞大的数学文化系统以文化驱动数学教学可以全面提升学生的数学素养思维的抽象性可以牢固信念并挑战智力；推理的严谨性可以培养良好的思维习惯和品质；知识的系统性以及问题的复杂性，可以涵育坚强的意志和学习态度；数学累积性可以激发创新意识、开阔历史视野；审美驱动性
13、与和谐统一性可以完善数学观和对数学美的情感体验4.1.2 文化驱动解析几何教学的意义与功能数学教学是数学思想的教学但数学创造中，数学家的信念品质、价值判断、审美追求等文化因素的暗流总是涌动在知识和真理成分的背后数学思想教学的哲学意义在于，让学生透过数学知识和真理的“冰冷的美丽”背后，了解是什么样的一种深层文化预先存在于数学家的预设中，使他能够形成这样的思想和创造，并进入学生自己的心灵笛卡尔数学思想具有广泛而深刻的文化内涵，是一个整体文化系统所以，高中解析几何课程教学应尤其突出解析几何思想的教学以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材，在课程教学的启动环节驱动解析几何教学，可以让学生对解析几何产生的文化
14、和历史背景、基本思想和学科特点以及笛卡尔创立解析几何时的数学信念、数学思维、心理模式、个性品质等有一个整体性认识，为学生营造一个渴望认知、理解和掌握知识的、深富吸引力的学习情境，从而激发学生学习的原动力，使学生形成立体的认知结构，也为解析几何基本思想的全面展开奠定基础奥苏伯尔（Ausubel）曾提出先行组织者（advanceorganize）概念，即：组织者是先于学习材料呈现之前而呈现的一个引导性材料它在概括与包容的水平上高于要学习的材料，但以学习者通俗易懂的语言呈现，故它是新旧知识发生联系的桥梁文化驱动解析几何教学正可以作为课程教学的先行组织者4.1.3 整体文化驱动策略实施具体方案设置一个
15、导言课，安排在解析几何课程开始之初教学主题：追寻笛卡尔数学思想的踪迹解析几何课程内容及学科思想介绍教学内容：（1）笛卡尔生平简介（2）历史背景简介（3）笛卡尔创立解析几何构思过程（4）解析几何的创新与意义（5）笛卡尔信念、精神与品质（6）解析几何中的哲学思想教学方式：讲座，师生交流，学生课后作文课时安排：以2 学时为宜4.2 策略二核心概念统领所谓核心概念统领策略，就是以曲线与方程概念为核心，总体统领解析几何知识结构，开展教学4.2.1 核心概念统领的意义与功能曲线与方程概念是数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念而展开因此，曲线与方程概念在解析几何知识结构中居统领地位核心概念统领解析几何教学，可以让学生更好地了解和理解解析几何中基本概念（曲线与方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方法（数形结合思想方法）和研究对象（直线和各种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何课程的深入理解和整体把握，使学生获得普遍的认知迁移，使学科基本观念在记忆中得到巩固，为学生深刻理解解析几何的基本思想搭建平台4.2.2 核心概念统领策略的原理归结布鲁纳（Bruner）认为，学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，知识的整体性和事务的普遍联系是学科的基本结构不论教什么学科，
