《小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型).》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型).（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理” ：S 4S 3S 2S 1DCBA1243:S S S S =或者1324S S S S =(1243:AO OC S S S S =+蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，AOB 面积为1平方千米，BOC 面积为2平方千米，COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是69
2、2平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ A【分析】 根据蝴蝶定理求得3121.5AOD S =平方千米，公园四边形ABCD 的面积是1231.57.5+=平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC 的面积；:AG GC =？ B【解析】 根据蝴蝶定理，123BGCS =，那么6BGCS=；根据蝴蝶定理，(:12:361:3AG GC =+= (？ABCD AC O BCD任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_倍
3、。AB C DA BC D 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴
4、蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：:1:3ABD BDC AO OC S S =， 236OC =，:6:32:1OC OD =解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G 13ABD BCD S S =，13AH CG =，13AOD DOC S S =，13AO CO =，236OC =，:6:32:1OC OD =【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF 、OEF 、ODF 、BOE 的面积依次是2、4、4和6。求：求OCF 的面积；求GCE 的面积。EDCBA【解析】 根据题意可知，BCD 的面积为244616+=，那么BCO
5、和CDO 的面积都是1628=，所以OCF 的面积为844-=；由于BCO 的面积为8，BOE 的面积为6，所以OCE 的面积为862-=，根据蝴蝶定理，:2:41:2COE COF EG FG S S =，所以:1:2GCE GCF S S EG FG =，那么11221233GCE CEF S S =+【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？77BA【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED =，所以ABE ，CDE 的面积比为( AE EB :( CE DE
6、。同理有ADE ，BCE 的面积比为( :( AE DE BE EC 。所以有ABE S CDE S =ADE S BCE S ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE S =7ADE S ，所以有ABE 与ADE 的面积比为7:6，ABE S =7392167=+公顷，ADE S =6391867=+公顷。显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例 5】 (2008年清华附中入学测试题 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。 BDBD【解析】 连接AD 、CD 、BC
7、。则可根据格点面积公式，可以得到ABC 的面积为：41122+-=，ACD 的面积为：3313.52+-=，ABD 的面积为：42132+-= 所以:2:3.54:7ABC ACD BO OD S S =，所以44123471111ABO ABD S S =+【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积。 D【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S =+，510277DBC S =【例 6】 (2007年人大附中考题 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG的面积ABCDEFA
8、BCDEF【解析】 连接EF 因为2BE EC =，CF FD =，所以1111( 23212DEF ABCD ABCD S S S =因为12AED ABCD S S =，根据蝴蝶定理，11:6:1212AG GF =，所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S =所以132221477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S =-=-=，即三角形AEG 的面积是27【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积AB
9、CD EFABCD EF【解析】 连接AE ，FE 因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111( 53210DEFABCD ABCD S S S =长方形长方形 因为12AEDABCD SS =长方形，11:5:1210AG GF =，所以510AGD GDF S S =平方厘米，所以12AFDS =平方厘米因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积AB A B【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，
10、连接BE 、DF 由蝴蝶定理可知:BED BCD EO OC S S=，而14BEDABCD SS =，12BCDABCDSS =，所以:1:2BEDBCDEO OC SS=，故13EO EC =由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =由蝴蝶定理可知:1:2BFD BED S S FO EO =，所以1128BFD BED ABCD S S S =，那么11110106.2521616BGD BFD ABCD S S S =（平方厘米）【例 9】 如图，在ABC 中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O , 若AO
11、M 、ABO 和BON 的面积分别是3、2、1，则MNC 的面积是NM CBA【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 31322AOMBON MON AOB S S S S = 设MON S x =，根据共边定理我们可以得ANM ABMMNC MBCS S S S =，3332312xx +=+，解得22.5x =【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 B 4B A 654A 3A
12、AB 4B A 654A 3A A【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA 一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积 连接63A A 、61B B 、63B A 设116A B B 的面积为”1“，则126BAB 面积为”1“，126A A B 面积为”2“，那么636A A B 面积为126A A B 的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212+=，263A B A 的面积为”6“，123B A A 的面积为2根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B
13、A A B B O A O S S =，故23616A OA S =+，123127B A A S =，所以23123612:12:1:77A OA A A A A S S =梯形，即23A OA 的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147=，所以阴影部分面积为32009111487-= (平方厘米 板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理” ：A BCDba S 3S 2S 1S 42213:S S a b =221324:S S S S a b ab ab =； S
14、的对应份数为(2a b +梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积 【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b =，所以2b =；又因为22S a b =，所以1a =；那么211S a =，42S a b =，所以梯形面积123412429S S S S S =+=+=，或者根据梯形蝴蝶定理，(22129S a b =+=+=【巩固】(2006年南京智力数学冬令营 如下图，梯形ABCD
