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1、 目目 录录 第一章 随机事件和概率 1 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1 1 概念网络图 1 2 重要公式和结论 1 第二节第二节 重点考核点重点考核点 6 6 第三节第三节 常见题型常见题型 6 6 1 事件的运算和概率的性质 6 2 古典概型和几何概型 6 3 条件概率和乘法公式 7 4 全概和贝叶斯公式 7 5 独立性和伯努利概型 8 第四节第四节 历年真题历年真题 9 9 数学一 9 数学三 10 第二章 随机变量及其分布 13 第一节第一节 基本概念基本概念 1313 1 概念网络图 13 2 重要公式和结论 13 第二节第二节 重点考核点重点考核点 1818 第三节第三节
2、常见题型常见题型 1818 1 常见分布 18 2 函数分布 20 第四节第四节 历年真题历年真题 2020 数学一 20 数学三 21 第三章 二维随机变量及其分布 24 第一节第一节 基本概念基本概念 2424 1 概念网络图 24 2 重要公式和结论 25 第二节第二节 重点考核点重点考核点 3131 第三节第三节 常见题型常见题型 3131 1 二维随机变量联合分布函数 31 2 随机变量的独立性 32 3 简单函数的分布 33 第四节第四节 历年真题历年真题 3434 数学一 34 数学三 36 第四章 随机变量的数字特征 39 第一节第一节 基本概念基本概念 3939 1 概念网络
3、图 39 2 重要公式和结论 39 第二节第二节 重点考核点重点考核点 4343 第三节第三节 常见题型常见题型 4343 1 一维随机变量及其函数的数字特征 43 2 二维随机变量及其函数的数字特征 44 3 独立和不相关 45 4 应用题 46 第四节第四节 历年真题历年真题 4646 数学一 46 数学三 49 第五章 大数定律和中心极限定理 53 第一节第一节 基本概念基本概念 5353 1 概念网络图 53 2 重要公式和结论 53 第二节第二节 重点考核点重点考核点 5555 第三节第三节 常见题型常见题型 5555 1 大数定律 55 2 中心极限定理 55 第四节第四节 历年真
4、题历年真题 5656 数学一 56 数学三 56 第六章 数理统计的基本概念 57 第一节第一节 基本概念基本概念 5757 1 概念网络图 57 2 重要公式和结论 57 第二节第二节 重点考核点重点考核点 5959 第三节第三节 常见题型常见题型 5959 1 统计量的性质 59 2 统计量的分布 60 第四节第四节 历年真题历年真题 6060 数学一 60 数学三 61 第七章 参数估计 63 第一节第一节 基本概念基本概念 6363 1 概念网络图 63 2 重要公式和结论 64 第二节第二节 重点考核点重点考核点 6767 第三节第三节 常见题型常见题型 6767 1 矩估计和极大似
5、然估计 67 2 估计量的优劣 68 3 区间估计 68 第四节第四节 历年真题历年真题 6969 数学一 69 数学三 70 第八章 假设检验 73 第一节第一节 基本概念基本概念 7373 1 概念网络图 73 2 重要公式和结论 73 第二节第二节 重点考核点重点考核点 7474 第三节第三节 常见题型常见题型 7575 1 单正态总体均值和方差的假设检验 75 2 两类错误 75 第四节第四节 历年真题历年真题 7676 数学一 76 数学三 76 第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1 概念网络图 概念网络图 公公公公公 公公公公公 独立性
6、 全概公式 和乘法公式条件概率 减法 加法 五大公式 几何概型 古典概型 随机事件 样本空间 基本事件 随机试验BCCB CB CB AP A E 2 2 重要公式和结论 重要公式和结论 1 排列 组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数 nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数 nmn m C n m 2 加法 和乘法原 理 加法原理 两种方法均能完成此事 加法原理 两种方法均能完成此事 m nm n 某件事由两种方法来完成 第一种方法可由 m 种方法完成 第二种方法可由 n 种方法来完成 则这件事可由 m n 种方法来完成 乘法原理 两个步骤分别不能
7、完成这件事 乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事 m nm n 某件事由两个步骤来完成 第一个步骤可由 m 种方法完成 第二个步骤可由 n 种方法来完成 则这件事可由 m n 种方法来完成 3 一些 常见排列 重复排列和非重复排列 有序 对立事件 至少有一个 顺序问题 4 随机 试验和随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行 而每次试验的可能结果不止一个 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果 则称这种试验为随机试 验 试验的可能结果称为随机事件 5 基本 事件 样 本空间和 事件 在一个试验下 不管事件有多少个 总可以从其中找出这样一组事件 它具 有如下性质 每进行一次试验 必
8、须发生且只能发生这一组中的一个事件 任何事件 都是由这一组中的部分事件组成的 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件 用来表示 基本事件的全体 称为试验的样本空间 用表示 一个事件就是由中的部分点 基本事件 组成的集合 通常用大写字母 A B C 表示事件 它们是的子集 为必然事件 为不可能事件 不可能事件 的概率为零 而概率为零的事件不一定是不可能事件 同 理 必然事件 的概率为 1 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件 6 事件 的关系与 运算 关系 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分 A发生必有事件B发生 BA 如果同时有 则称事件A与事件B等价 或称A等于BA AB B A
9、 B A B中至少有一个发生的事件 AB 或者A B 属于A而不属于B的部分所构成的事件 称为A 与 B的差 记为A B 也 可表示为A AB或者 它表示A发生而B不发生的事件 BA A B同时发生 A B 或者AB A B 则表示 A 与 B 不可能同时发生 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥 基本事件是互不相容的 A 称为事件 A 的逆事件 或称 A 的对立事件 记为A 它表示 A 不发 生的事件 互斥未必对立 运算 结合率 A BC AB C A B C A B C 分配率 AB C A C B C A B C AC BC 德摩根率 11i i i iAA BABA BABA 7
10、概率 的公理化 定义 设 为样本空间 A为事件 对每一个事件A都有一个实数 P A 若 满足下列三个条件 1 0 P A 1 2 P 1 3 对于两两互不相容的事件1A 2A 有 11 i i i iAPAP 常称为可列 完全 可加性 则称 P A 为事件A的概率 8 古典 概型 1 n 21 2 n PPP n 1 21 设任一事件A 它是由组成的 则有 m 21 P A 21m 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 9 几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀 同时样本 空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述 则称此随机试验为 几
11、何概型 对任一事件 A 其中 L 为几何度量 长度 面积 体积 L AL AP 10 加 法公式 P A B P A P B P AB 当 P AB 0 时 P A B P A P B 11 减 法公式 P A B P A P AB 当 BA 时 P A B P A P B 当 A 时 P 1 P B B 12 条 件概率 定义 设 A B 是两个事件 且 P A 0 则称为事件 A 发生条件下 AP ABP 事件 B 发生的条件概率 记为 ABP AP ABP 条件概率是概率的一种 所有概率的性质都适合于条件概率 例如 P B 1P A 1 P B A B 13 乘 法公式 乘法公式 ABP
12、APABP 更一般地 对事件 A1 A2 An 若 P A1A2 An 1 0 则有 21 AAP nA 213121AAAPAAPAP 21 AAAPn 1 nA 14 独 立性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A B满足 BPAPABP 则称事件A B是相互独立 的 若事件A B相互独立 且 0 AP 则有 BP AP BPAP AP ABP ABP 若事件A B相互独立 则可得到A与B A与B A与B也都相互 独立 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立 与任何事件都互斥 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件 如果满足两两独立的条件 P AB P A P
13、 B P BC P B P C P CA P C P A 并且同时满足 P ABC P A P B P C 那么 A B C 相互独立 对于 n 个事件类似 15 全 概公式 设事件 nBBB 21 满足 1 nBBB 21 两两互不相容 2 1 0 niBPi 2 n i iBA 1 则有 2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 16 贝 叶斯公式 设事件1B 2B nB及A满足 1 1B 2B nB两两互不相容 BiP 0 i 1 2 n 2 n i iBA 1 0 AP 则 i 1 2 n n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 此公式即为贝叶斯公式 1 i
14、2 n 通常叫先验概率 i BP 1 i 2 n 通常称为后验概率 贝叶斯公式反映了 ABP i 因果 的概率规律 并作出了 由果朔因 的推断 17 伯 努利概型 我们作了n次试验 且满足 每次试验只有两种可能结果 A发生或A不发生 n次试验是重复进行的 即A发生的概率每次均一样 每次试验是独立的 即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的 这种试验称为伯努利概型 或称为n重伯努利试验 用 p表示每次试验A发生的概率 则A发生的概率为qp 1 用 kPn 表示n重伯努利试验中A出现 0 nkk 次的概率 knk k n nqpkP C nk 2 1 0 例 11 有 5 个队伍参
15、加了甲 A 联赛 两两之间进行循环赛两场 没有平局 试问 总共输的场次是多少 例 1 2 到美利坚去 既可以乘飞机 也可以坐轮船 其中飞机有战斗机和民航 轮船有 小鹰号和 Titanic 号 问有多少种走法 例 1 3 到美利坚去 先乘飞机 后坐轮船 其中飞机有战斗机和民航 轮船有小鹰号和 Titanic 号 问有多少种走法 例 1 4 10 人中有 6 人是男性 问组成 4 人组 三男一女的组合数 例 1 5 两线段 MN 和 PQ 不相交 线段 MN 上有 6 个点 A1 A2 A6 线段 PQ 上有 7 个点 B1 B2 B7 若将每一个 Ai和每一个 Bj连成不作延长的线段 AiBj
16、i 1 2 6 j 1 2 7 则由这些线段 AiBj相交而得到的交点 不包括 A1 A6 B1 B713 个点 最多有 A 315 个 B 316 个 C 317 个 D 318 个 例 1 6 3 封不同的信 有 4 个信箱可供投递 共有多少种投信的方法 例 1 7 某市共有 10000 辆自行车 其牌照号码从 00001 到 10000 求有数字 8 的牌照号 码的个数 例 1 8 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 至少一白的种数 有序 15 1 5 1 3 CC21 1 2 1 2 1 5 1 5 CCCC 例 1 9 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 至少一白的种数 有序 12 1 4 1 3 CC18 1 1 1 2 1 4 1 5 CCCC 例 1 10 3 白球 2 黑球 任取 2 球 至少一白的种数 无序 12 1 4 1 3 CC9 2 2 2 5 CC 例 1 11 化简 A B A B BA 例 1 12 成立的充分条件为 CBCACBA 1 C 2 CA B 例 1 13 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 至少一白的概率 例 1 14
