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1、第七章 控制第七章 控制 Chapter Control 7 1 引言7 2 单连杆机械手的控制 7 3 稳态伺服误差7 4 稳态速度误差 7 5 加速度误差7 6 多连杆机械手的控制 7 7 伺服参数的计算7 8 采样数据的伺服速度 7 9 力矩伺服7 10 本章小结 前几章 我们借助齐次变换阐述了对于包括机械手在内的 任何物体的位置和姿态的描述方法描述方法 研究了机械手的运动学运动学 建立了机械手关节坐标和与直角坐标的位置和速度之间的关系 逆运动学逆运动学 推导了机械手的动力学方程动力学方程 本章 我们要根据动力学方程来考虑机械手的控制问题控制问题 由于任何机械手的实际控制都是通过对各个关
2、节的协调控制来 实现的 因此 必须对每一个关节进行有效的控制 控制方法 具有一般性 本章旨在明确控制中的主要问题 并概要介绍可 能的解决方法 7 1 引言引言 Introduction J J structural 0 0 7 1 如果负载加到连杆的末端 就要增加一个等效连杆质量以及等效转动 惯量 表7 1是斯坦福机械手的传动机构与等效连杆惯量 首先 我们考虑一个非常简单的单连杆机械手单连杆机械手 这个连杆具有质量及 围绕关节轴的转动惯量 而且 由于它的刚性结构 存在着结构谐振频率 structural 对于一个设计得很好的机械手 可以做到从空载到满载使惯量 的变化为1 10 因此 如果固有结
3、构谐振频率 0 是按惯量为J0的情况 测定的 那么当惯量为另一个值 J 时 结构频率结构频率就由下式确定 7 2 单连杆机械手的控制单连杆机械手的控制 Control of a Single Link Manipulator 表7 1 斯坦福机械手的传动机构与等效关节惯量 关节i IaiJii空载 min Jii空载 max Jii满载 max 10 953 1 417 6 176 9 57 2 2 193 3 59 6 95 10 3 3 0 782 7 257 7 257 9 057 40 106 0 108 0 123 0 234 50 097 0 114 0 114 0 225 6 0
4、 040 0 04 0 04 0 04 机械手各关节由传动机构按齿轮减速比齿轮减速比a来驱动 在直接 驱动的情况下 a 1 在间接驱动的情况下 关节速度是传动 机构速度的 1 a 通过减速齿轮折合过来的传动机构惯量增加到 原来的 a2的倍 Iai 沿用上一章中的记号 可以把等效关节惯量等效关节惯量 Jii写为 Jii Dii Iai 7 2 其中 Dii是不计传动机构惯量的关节等效惯量 Iai是增加 a2 倍以后的传 动机构惯量 一般地 传动机构或者是液压装置 或者是电动装置 两类传动机 构都可以用一个传动增益传动增益 km和一个粘性阻尼系数粘性阻尼系数 F 来描述 不考虑库仑 摩擦 传动机构
5、的模型传动机构的模型为 km F SJ 1 sS d sS 这个方块图化为标准形式标准形式为 再化简为 因而 传动机构与关节的传递函数传动机构与关节的传递函数就成为 FSJ k sS sS m d 7 3 H s R s E s G s F s C s R s C s 1 sGsH sG 图中 G s km sJ H s F km 从测速发电机或通过其他方式引来速度反馈速度反馈kv 可增加传动机构 的固有阻尼 方块图于是变为 sS d sS mv m kkFSJ k 关节与传动机构的传递函数 在考虑速度反馈后考虑速度反馈后就为 kv sS d sS FSJ km 如果我们现在设置位置反馈位置反
6、馈使系统闭环 就有 mvmv me d kkkkFsJs kk s s 2 7 4 这是一个二阶系统 标准形式为 2 2 2 1 nns s 从而传递函数变为 s d s mv m kkFSJ k ke S 1 上式中 n是系统的特征频率特征频率 无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率 是阻尼比阻尼比 当 1 时的欠阻尼状态欠阻尼状态 系统具有快速响应 通常情况下伺服系统为实现快 速响应而采用的阻尼比范围为 0 3 1 当 1 时 系统处于临界阻尼状态临界阻尼状态 这时能得到最快的无振荡响应最快的无振荡响应 于是由式 7 4 有 J kk me n me mv kJk kkF 2 7 5 对于临
7、界阻尼 1 有 mek k mdmv kJkkkF2 7 6 为了防止激起结构振荡防止激起结构振荡 保证包括连杆在内的系统稳定 必需把必需把 n 限制为限制为 0 5 structure 根据 7 1 和 7 5 得到 J J J kk me0 0 5 0 0 2 0 2 25 0Jfkk me 0 2 0 2 Jfkk me 7 7 我们把系统增益的最大值记为 mek k 0 2 0 2 Jfkk me 7 8 例如 对于斯坦福机械手 如果我们对连杆的结构频 率作一定性估计 再利用表7 1取J 的中间值 就可以算出 系统增益的实际最大值 见表7 2 mek k 表7 2 斯坦福机械手结构频率
8、对位置增益的限制 关节 14 5 790 26 7 1780 320 7 27600 4 15 0 1 220 515 0 1 220 6 20 0 04 1580 0 J 0 f mek k 问题 为什么有这些限制 位置伺服增益位置伺服增益 ke为式 7 8 所限 可确定为 m e k Jf k 0 2 0 2 若 0 e 若 static static ff T T sT 0 e 若 下面考虑最后一种稳态误差 即由重力造成的误差 根据在最大负载 情况下的重力负载 Tg 按照设定的系统增益以及操纵臂长 r 可算出 机械手末端机构的位置偏差 表7 5以斯坦福手为例 列出了这些位置偏 差值 me
9、k k 表7 5 基于重力负载的位置偏差 关节 10 54 790 0 1 31 20 50 1780 69 3 19 47 327600 81 73 2 96 40 25 220 5 54 6 30 50 25 220 5 54 6 30 6 0 25 1580 0 0 r m mek kdx mm Tg n m 重力负载造成的偏差非常大 但是不会带来任何问题 因为我们已 经计算过重力矩Di 对于任何一个关节 如果它的重力负载偏差必须予 以考虑 那我们可以给这个关节附加一个前馈力矩 其大小与计算的重 力负载力矩相等 修改了的伺服系统方块图如7 2所示 如果各个关节都带有库仑摩擦补偿和重力负载
10、补偿 那么系统的所有稳 态误差就转化为由未知负载或未知外力引起的等价的稳态误差力矩 eme kkT 7 20 Di Km F d Ke T SJ 1 S 1e s T dynamic T static m K 1 FJG m K 1 图7 2 库仑摩擦补偿和重力负载补偿关节伺服 在运动坐标系的情况下 当要求机械手以一个恒定的速度到达工位点 时 伺服系统会产生稳态速度误差 注意 所谓稳态速度误差是指由关节速 度引起的位置误差 例如与传送带配合工作时 这类误差就比较重要 把 恒定速度Vc的拉普拉斯变换Vc s2代入式 7 14 取极限 见式 7 15 可求得稳态速度误差为 c me mv e V
11、kk Fkk 7 21 假定系统为临界阻尼 将式 7 6 代入上式 再利用式 7 10 和 7 1 简 化得到 ce V f 2 7 22 7 4 稳态速度误差稳态速度误差 Steady State Velocity Errors 设传送带的速度为10厘米 秒 斯坦福机械手位于距传送带0 5米 处 相应的速度为Vc 0 2 厘米 秒 跟踪误差如表7 6所示 表7 6 斯坦福机械手的跟踪误差 关节 14 0 54 17 19 26 0 50 10 61 320 3 18 415 0 25 2 12 515 0 25 2 12 6 20 0 fr m dx mm 从表7 6可看出 这些跟踪误差都很
12、大 但是如果根据期望速度提供前 馈 这些误差可以减小为零 原来的伺服方块图中要加上两项 一项克服 阻尼系数 F 的影响 一项克服速度反馈系数 Kv的影响 Kv隐含在G中 修改结果如图7 3所示 Di Km F d Ke T SJ 1 S 1e s T dynamic Tstatic m K 1 FJG m K 1 F S d 图7 3 速度补偿的关节伺服 下面考虑由关节加速度造成的 位置误差 我们先来研究一个非常 简单的模型 在前一半运动时间里 由正的加速度a 起作用 而在后一 半运动时间里 负加速度 a起作 用 总的最大速度v 为at 2 总的运 动 时 间 为T t时 刻 的 位 置 变
13、化 为at2 4 运动轨迹形如图7 4所 示 用t 和 表示v和a的求解结 果 得到 v 2 t a 4 t2 7 23 7 5 加速度误差加速度误差 Acceleration Errors T V 2 T 4 2 at T 2 4 T a 图7 4 运动轨迹 T 22 0 e em Ja a k kf 7 24 我们再考虑一个速度相当高的运动 例如在1秒时间里 2 弧 度 秒 这就相当于v 4 而a 8 假定使用速度前馈来消除与速度 有关的误差 由恒定加速度a 所引起的稳态误差就相当于 d s a s3 的输入 利用这一输入 通过求取极限 见式 7 15 可得到 如果加速度为8 e 的值如表
14、7 7所示 尽管机械手以高速 此处为2米 秒 运动时这些误差并不重要 但是 在运动的开始与终了时 它们还是值得重视的 如图7 5所示 附加另一 个前馈项 Js2 就有可能补偿这些误差 如果等效关节惯量未知 那么可 以取 J 的最小值构成补偿 要是使用 J 的最大值构成补偿而实际关节惯量 却小于最大值 那就会引起超调 表7 7 斯坦福机械手的加速误差 关节 14 0 54 27 36 26 0 50 11 26 320 2 03 45 0 25 0 90 515 0 25 0 90 6 20 0 fr m dx mm memv kkskkFJs T sE 2 7 25 对于图7 5 所示的系统
15、误差传递函数为 Di Km F d Ke T SJ 1 S 1 e s T dynamic Tstatic m K 1 FJG m K 1 F S d S Jii 图7 5 加速度补偿的关节伺服 d 至此 我们一直是在研究单连杆机械手的控制 实际上我们是在研究当机 械手所有其他的连杆都锁定时 如何单独控制一个连杆的问题 如果松开其他 的连杆 会发生什么情况呢 这就要考虑三种因素的影响 耦合惯量 向心力 以及哥氏力 一个关节上加速度与力矩之间的关系是 为了补偿式 2 27 的耦合惯量可有三种做法 或者由式 7 27 算出力 矩并把它直接作用在其他关节上 或者用这个力矩对其他关节进行制动 或者 把
16、这个力矩与其他关节的实际伺服系统相连 如果耦合惯量相当大 Dji Jii 那么可附加一个前馈项 图7 6 来实现 7 26 iaiiiiiii qIDqJF 7 27 ijij qDF 考虑到耦合惯量 在所有其他的关节 j 上同时也有一个作用力矩 7 6 多连杆机械手的控制多连杆机械手的控制 Control of Multiple Link Manipulator 图7 6 带有关节耦合补偿的伺服系统 接节 到伺 其服 他系 关统 来节 自伺 其服 他系 关统 Di Km F d Ke T SJ 1 S 1 e s T dynamic Tstatic m K 1 FJG m K 1 F S d S Jii d Dik Dij dj dk 例如 第6章计算过斯坦福机械手关节1与关节2 3之间的耦合惯量 为 3223012 ddcbD L 223013 dsbD L 7 28 给关节1的伺服系统所加的前馈项就应为 313212 dDDT ff 对于关节2 应加 112 DT ff 对于关节3 应加 113 DT ff 7 29 7 30 7 31 一般说来 我们可以依靠每个关节 的伺服系统
