《工程数学课件 工程数学第5讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学课件 工程数学第5讲（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲 原函数与不定积分原函数与不定积分 Cauchy积分公式积分公式 1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 2 积分计算公式积分计算公式 3 4 原函数与不定积分原函数与不定积分 1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由由 2基本定理的推论知基本定理的推论知 设设f z 在单连通在单连通 当起点固定在当起点固定在z0 终点终点z在在B内变动内变动 z z df 0 1 定理定理设设f z 在单连通区域在单连通区域B内解析内解析 则则F z 在在 B内解析内解析 且且 区域区域B内解析内解析 则对则对B中任意曲线中任意曲线C 积分积分 与与路径无关路径无关 只与起点和终
2、点有关只与起点和终点有关 C f zdz C f zdz 在在B内就定义了一个变上限的单值函数内就定义了一个变上限的单值函数 记作记作 定义定义1 若函数若函数 z 在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f z 即即 称称 z 为为f z 在在B内的内的原函数原函数 z z z df 0 上面定理表明上面定理表明是是f z 的一个的一个 设设H z 与与G z 是是f z 的的任何两个原函数任何两个原函数 0G zH zG zH z 这这表明表明 f z 的任何两个原函数相差一个常数的任何两个原函数相差一个常数 见第二章见第二章 2 2例例3 3 G zH zcc 为任意常数 原函数原函数 c
3、dz 2 积分计算公式积分计算公式 定义定义2 设设F z 是是f z 的一个原函数的一个原函数 称称F z c c为为 任意常数任意常数 为为f z 的的不定积分不定积分 记作记作 定理定理设设f z 在单连通区域在单连通区域B内解析内解析 F z 是是f z 的一个原函数的一个原函数 则则 1001 1 0 Bzzdz z z 公式类似于微积分学中的牛顿公式类似于微积分学中的牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 但要求函数是但要求函数是解析解析的的 比以前的比以前的连续连续条件强条件强 例例1 计算下列积分计算下列积分 3 3 0Re 3 1 1 2 ii zzC dz z C 终点为终点为起点
4、为起点为 为半圆周为半圆周 其中其中 2 1 1 C dz z 解 2 2 2 3 9 i i ie d e 2 2 12 33 i ii d e C f z d z t z t dt 2 1 C dz z 故 2 1 Re00 zz z 在 上解析解解2 3 i ze 令 2 1 3 3 12 213 i i i z 1 arg 1 2 的任意曲线的任意曲线终点为终点为起点为起点为 内内 为单连通区域为单连通区域其中其中 z zDC dz z C 1 lnln1ln C dzzz zD z 故 解解 11 lnDz zz 在 内解析 又是 的一个原函数 例例3 计算下列积分计算下列积分 2
5、i i z dz n z dz 0 sin i zzdz 3 2 33 i i zi 1 1 1 n z n 0 cossin i zzz sincosiii 11 1 1 nn n 0 cos i zdz 小结小结求积分的方法求积分的方法 1 1 lim n kk cn k f z dz 2 c f z dzudxvdyi vdxudy 3 c f z d z t z t dt 05 c f zBCBf z dz 若 解析单连通 闭曲线则 7 f zBB若在 内解析单连通 则 复数一般形式 参方形式 定义 CG 定理 利用原函数 0 0 2 0 1 00 n n 0 i zz dz zz d
6、z r z z n C n 1 4 常见公式 6 复合闭路定理 闭路变形原理 1 1 0 0 z z z z f z d z 利用利用Cauchy Goursat基本定理在多连通域上基本定理在多连通域上 的推广的推广 即复合闭路定理即复合闭路定理 导出一个导出一个用边界值表示解用边界值表示解 析函数内部值的积分公式析函数内部值的积分公式 该公式不仅给出了解析该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式函数的一个积分表达式 从而成为研究解析函数从而成为研究解析函数 的有力工具的有力工具 而且提供了计算某些复变函数沿闭而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法路积分的方法 内内 容容 简简 介介
7、3 5 Cauchy积分公式积分公式 00 0 00 0 C Df zD zD CDz f z zdz zzzz 一般 设单连通在 内解析 是 内围绕 的一条闭曲线 则 在 不解析 1 00 CC dz zz dz zz 的内部的内部曲线曲线 在内部的在内部的任意包含任意包含 由复合闭路定理得由复合闭路定理得 CC z 1 0 分析分析 D C z0 C1 1 0 00 CC f z dzdz zzzz 0 01 可充分小可充分小 zzzC 0 0 C 时时当当 上的函数值上的函数值在在的连续性的连续性 这就是下面的定理这就是下面的定理这个猜想是对的这个猜想是对的 D C z0 C1 猜想积分
8、猜想积分 特别取特别取 1 0 0 1 C f zdz zz 0 2 if z 定理定理 Cauchy 积分公式积分公式 内任意一点内任意一点为为 它的内部完全含于它的内部完全含于 曲线曲线内任意一条正向简单闭内任意一条正向简单闭是是 内处处解析内处处解析在在设设 Cz D DC D 0 3 2 1 C dz zz i 0 0 2 1 0 KzzzRC 设的内部证明证明 0 1 2 C d zi zz 特 例 00 CK f z dzdzKR zzzz 与 的半径 无关 0 0 0 lim2 KR f z dzif z zz 只须证明 2 0 0 0 0 0 zifdz zz Rzz K 即要
9、证即要证 kkk dz zz dz zz zifdz zz 0 0 0 0 0 1 2 0 0 K f z ds zz 0 0 lim 00 0 0 Rzz zz k dz zz 0 0 K ds R 2 2 lim 0 0 0 zifdz zz KR C dz zz i 0 0 2 1 积分公式仍成立 积分公式仍成立 上连续上连续及在及在内解析 内解析 所围区域所围区域在在 1 若定理条件改为 1 若定理条件改为 CauchyBBC BC f z f z C C积分公式积分公式 2 2 定了定了内部任一处的值也就确内部任一处的值也就确 则它在区域则它在区域确定确定在区域边界上的值一经在区域边
10、界上的值一经 即若即若值来表示值来表示的值可以用它在边界的的值可以用它在边界的 内部任一点内部任一点表明函数在表明函数在Cauchy 0 3 Re i Czz 若则 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值圆周上的平均值 2 0 0 Re Re 2 1 dRie i i i i 2 0 0 Re 2 1 d i 0 0 1 2 C f z f zdz izz 44 3 2 1 1 2 sin 2 1 1 zz dz zz dz z z i 求求 4 1sin 1 2 z z dz iz 4 12 2 13 z dz zz 例例1 解解 1 2 21 22
11、 6 f z iii 及 0 sin0 z z 44 2 13 zz dz dz zz 2 21 1 C z dz zz Cz 求 为包含在内的任意简单正向曲线 例例2 2 21 C z dz zz 解解 C C1 C2 1 x y o 1 C dz z 0 21 2 1 C z z i z 由 积分公式 21 1 z z 21z z 4 i 12 22 2121 CC zz dzdz zzzz 21 C dz z 1 21 2 z z i z 1 173 3 2 22 if d z yxC C 求求 表圆周表圆周设设 例例3 解解 2 371zz 在全平面上处处解析 2 371 C f zd
12、 z 2 2 371 izz 3z 0 3z 03 2 67 3 z fz izz 又 1 2 6 1 7 2 136 fiiii 故 内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性本节研究解析函数的无穷次可导性 并导并导 出高阶导数计算公式出高阶导数计算公式 研究表明研究表明 一个解析函一个解析函 数不仅有一阶导数数不仅有一阶导数 而且有各阶导数而且有各阶导数 它的值它的值 也可用函数在边界上的值通过积分来表示也可用函数在边界上的值通过积分来表示 这这 一点与实变函数有本质区别一点与实变函数有本质区别 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 00 0 1 2 C f z f zdz
13、 zD izz 对积分公式 C dz zz i 2 0 0 2 1 C dz zz i 3 0 0 2 2 2 1 2 1 0 0 ndz zz i n C n n 形式上形式上 以下将对这些公式的正确性加以证明以下将对这些公式的正确性加以证明 0 z两边在积分号下对 求导得 1 0 0 0 1 2 2 n C n f z n f z fzdzn i zz Cf zDz D n 解析函数的导数仍为解析函数 它的 阶导数为 其中 为在的解析区域 内围绕 的 任意正向简单闭曲线 而且它的内部 定理定理 证明证明用数学归纳法和导数定义用数学归纳法和导数定义 z z Dz n z lim 1 00 0
14、 00 的情形的情形先证先证 C dz zzz i z 0 0 2 1 C dz zz i 0 0 2 1 由柯西积分公式由柯西积分公式 00 00 1 2 CC f z z dzdz zi zzzzzz 令为令为I 2 00 1 2 C z dz izzzzz 0 lim0 z I 下证 00 1 2 C f z dz izzzzz 2 0 1 2 C f z dz izz 2 00 1 2 C z Idz zzzzz f zCf zC 在 上解析 在 上连续 0 0 11 zzd zzd 2 00 1 2 C f z ds zzz z z z 0 0 zzz z 注 与无关 00 0 12
15、 2 d zzzzzz zzzd 则有 0 1 min 2 z C M st f zMdzzzd 则设取有界 23 12 2 C MML IdszLC d z dd 的长度 2 1 lim 2 0 00 0 0 Cz dz zz iz z 0 lim0 z I 显 然 从 而 有 2 的情形的情形的方法可证的方法可证式及推导式及推导再利用再利用 n C z dz zz i z z 3 0 00 0 0 2 2 lim 依次类推依次类推 用数学归纳法可得用数学归纳法可得 C n n dz zz i n 1 0 0 2 无穷次可导无穷次可导内解析内解析即在即在具有各阶导数具有各阶导数 内内在在内解析内解析平面上平面上在在定理表明定理表明 D DDz 一个解析函数的导数仍为解析函数一个解析函数的导数仍为解析函数 2 0 1 0 n i dz zz n C n 可计算积分可计算积分用途用途 C z C dz z e dz z z rzC 225 1 2 1 cos 1 1 求下列积分值求下列积分值例例1 4 5 1 cos2 cos 1 5 1 zC zi dzz z 解解1 cos z 在全平面处处解析 5 4 2 4 12 i i 11 22 2212 2 1 z e ziCzi z CziC CC 在处不解析取 不相交且在 的内部 12 2 22222 1 1 1 zzz CC
