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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第1页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 对二维随机变量 X Y 在给定Y取某个值的条件下 X的分布 在给定X取某个值的条件下 Y的分布 3 5 条件分布与条件期望 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第2页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 在第一章中 我们介绍了条件概率的概念 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随
2、机变量 设有两个r v X Y 在给定Y取某个或某些值 的条件下 求X的概率分布 这个分布就是条件分布 3 5 1 条件分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第3页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例如 考虑某大学的全体学生 从其中随机抽取 一个学生 分别以X 和Y 表示其体重和身高 则X和Y 都是随机变量 它们都有一定的概率分布 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Y
3、anbian University 第4页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 现在若限制1 7 Y0 则称 为在Y yj条件下随机变量X的条件概率函数 P X xi Y yj 类似定义在 X xi 条件下 随机 变量Y 的条件概率函数 作为条件的那个r v 认为取值是 给定的 在此条件下求另一r v的概 率分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第6页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 条件分布是一种概率分布 它具有概率分布的 一切性质 正如条件概率是一种概
4、率 具有概率的 一切性质 例如 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第7页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例3 5 1 设二维离散联合概率分布列如下 给定X时 Y的条件分布 Y X 1 2 3 pi 行和 1 2 0 1 0 3 0 2 0 2 0 05 0 15 0 6 0 4 p j 列和 0 3 0 35 0 35 1 00 P Y 1 X 1 P Y 2 X 1 P Y 3 X 1 0 1 0 6 1 6 0 3 0 6 1 2 0 2 0 6 1 3 P Y 1 X
5、 2 P Y 2 X 2 P Y 3 X 2 0 2 0 4 1 2 0 05 0 4 1 8 0 15 0 4 3 8 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第8页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 给定Y时 X的条件分布 P X 1 Y 1 P X 2 Y 1 1 3 2 3 P X 1 Y 2 P X 2 Y 2 6 7 1 7 P X 1 Y 3 P X 2 Y 3 4 7 3 7 例3 5 1 设二维离散联合概率分布列如下 Y X 1 2 3 pi 行和 1 2 0 1
6、0 3 0 2 0 2 0 05 0 15 0 6 0 4 p j 列和 0 3 0 35 0 35 1 00 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第9页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例3 5 2 设 X P 1 Y P 2 且X与Y相互独立 在已知X Y n的条件下 求X的分布 即 P X k X Y n k 0 1 2 n n是给定的 所以 X值不能超过n 解 由例3 2 2 有X Y P 1 2 注意 X与Y相互独立 但X与X Y不相互独立 第三章第三章 多维随机变量
7、及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第10页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 k 0 1 2 n X 的条件分布是二项分布 b n 1 1 2 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第11页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 二 连续型r v的条件分布 设 X Y 是二维连续型r v 由于对任意 x y P X x 0 P Y y 0 所以不能直接用条件概率 公式得到条件分布 下面我们直接给
8、出条件概 率密度的定义 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第12页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 定义2 设X和Y的联合概率密度为 p x y 边际概率密度为 则对一切使 的x 定义已知 X x下 Y 的条件 密度函数为 同样 对一切使 的 y 定义 为已知 Y y下 X的条件密度函数 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第13页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件
9、期望 我们来解释一下定义的含义 将上式左边乘以 dx 右边乘以 dx dy dy 即得 以为例 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第14页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 换句话说 对很小的dx和 dy 表示已知 Y 取值于y和y dy之间的条件下 X 取值 于x和x dx之间的条件概率 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第15页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件
10、期望 运用条件概率密度 我们可以在已知某一随机 变量值的条件下 定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率 定义在已知 Y y下 X的条件分布函数为 特别 取 即 若 X Y 是连续型r v 则对任一集合A 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第16页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例3 5 3 设 X Y N 1 2 12 22 试求两个条件密度 函数 解 由例3 1 7知X与Y 的边际分布分别为N 1 12 与 N 2 22 于是在Y y下 X 的条件密度为 第三章第三章
11、多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第17页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 这正是正态分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第18页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 类似地在X x下 Y 的条件分布为 在Y y下 X 的条件分布为 因此 二维正态分布的条件分布仍为正态分布 前面 我们已经知道 二维正态分布的两个边 际密度仍是正态分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多
12、维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第19页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例3 5 4 设 X Y 服从单位圆上的均匀分布 概率密度为 解 X的边际密度为 当 x 1时 有 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第20页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 即 当 x 0 5 解 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian Unive
13、rsity 第26页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 x y 0 y x 1 p x y 0的区域 x y y pY y 0 1 pY y 的图形 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第27页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 3 5 2 条件期望 定义3 4 1 条件分布的数学期望称为条件期望 其中P X xi Y y 为在给定Y y下X的条件分布列 p x y 为在Y y下X的条件密度函数 注意 条件期望E X y 与 无条件 期望E X 的不同含义 第
14、三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第28页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例 若X表示中国人的年收入 则 若用Y表示中国人受教育的年限 则 E X 只有一个 而E X y 根据Y的取值范围可有很多个 一般E X y 是y的函数 随y值变化 E X y 表示 受过y年教育的中国人群中的平均年收入 E X 表示 中国人的平均年收入 又如 若X表示中国成年人的身高 则E X 表示中国成年人的平均 身高 若用Y表示中国成年人的足长 则 E X y 表示 足长为y的中国成年人群的平均身
15、高 我国公安部门研究获得 E X y 6 876y 一案犯在保险柜前留下足印 测得25 3厘米 代入上式得案犯身 高大约在174厘米左右 注意 条件期望E X y 与 无条件 期望E X 的不同含义 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第29页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 例3 5 6 设 X Y N 1 2 12 22 在例3 5 3中已求 得给定Y y下X的条件分布为正态分布 条件期望具有数学期望的一切性质 如 1 2 对任一函数g X 有 第三章第三章 多维随机变量及
16、其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第30页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 定理3 5 1 重期望公式 条件期望的期望就是 无条件 期 望 即 E E X Y E X 证 在连续场合 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第31页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 在离散场合 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第32页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 重期望公式具体如下 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Yanbian University Yanbian University 第33页 3 5 3 5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望 解 设X为该矿工到达安全地点所需时间 单位 小时 Y为他所选的门 可能取值1 2 3 需要求E X 由定
