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1、第三节第三节 LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系积分的关系 第五章 积分论 1 yi yi 1 LesbesgueLesbesgue积分积分 对值域作分划 xi 1 xi RiemannRiemann积分积分 对定义域作分划 本节主要内容 l若f x Riemann可积 则f x 在 a b 上Lebesgue可积 且积分值相等 lf x Riemann可积当且仅当f x 的不连续点全体为零测度集 2 Riemann Riemann可积的充要条件可积的充要条件 f x 在 a b 上Riemann可积 3 DarbouxDarboux上 下积
2、分上 下积分 对 a b 作分划序列 令 对每个i及n DarbouxDarboux上积分上积分 DarbouxDarboux下积分下积分 xi 1 xi 4 引理 设引理 设f x f x 在在 a b a b 上为有界函数 记上为有界函数 记 x x 为为 a b a b 上的振幅函数 则上的振幅函数 则 故 x 为 a b 上的可测函数 从而f x L可积 证明 由于f x 在 a b 上为有界函数 故 x 为 a b 上有界函数 又对任意实数t 为闭集 xi 1 xi 5 作函数列 对 a b 作分划序列 xi 1 xi 引理的证明引理的证明 6 引理的证明引理的证明 xi 1 xi
3、7 引理的证明引理的证明 从而结 论成立 xi 1 xi 8 1 Riemann1 Riemann可积的可积的内在内在刻画刻画 定理 有界函数f x 在 a b 上Riemann可积的 充要条件是f x 在 a b 上的不连续点全体为零 测度集 教材p 104有另一种证明 证明 若f x Riemann可积 则f x 的 Darboux上 下积分相等 9 上述过程反之也成立 从而f x 在 a b 上的不连续点全体为零测度集 引理 设f x 是E上有限实函数 则f x 在x0 E 处连续的充要条件是f x 在x0处的振幅为0 证明参照教材p 102 10 2 Lesbesgue2 Lesbes
4、gue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系积分的关系 LebesgueLebesgue积分是对积分是对RiemannRiemann积分的推广积分的推广 定理 若f x 在 a b 上Riemann可积 则f x 在 a b 上Lebesgue可积 且 证明 f x 在 a b 上Riemann可积 故f x 在 a b 上几乎处处连续 从而f x 在 a b 上有界可测 并且Lebesgue可积 11 LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系的证明积分的关系的证明 其次 对 a b 的任一分划 根据Lesbesgue积分的可加性 我们
5、有 12 LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系的证明积分的关系的证明 对上式左 右端关于一切分划各取 上 下确界 即得 xi 1 xi 13 例例 在有理点处不连续 在无理点处连续 参见 数学分析 lRiemann函数Riemann可积 处处不连续 lDirichlet函数不Riemann可积0 1 14 注 注 LebesgueLebesgue积分与广义积分与广义RiemannRiemann积分无必然联系积分无必然联系 例 f x 有无穷积分 但不Lebesgue可积 15 注 注 LebesgueLebesgue积分与广义积分与广义Riem
6、annRiemann积分无必然联系积分无必然联系 例 f x 有暇积分但不Lebesgue可积 1 5 1 3 1 16 例例 设设f x f x 是是 a b a b 上上LebesgueLebesgue可积函数 如果对任可积函数 如果对任 意实数意实数c 0 c 1 c 0 c 1 总有总有 那么那么f x 0 a e f x 0 a e 于于 0 1 0 1 教材p122有另一种证明写法 证明中用到了积分的绝对连续性 17 从而有f x 在F上几乎处处为0 所以f x 0 a e 于 0 1 0 1 证明 续 证明 续 18 第四节第四节 LesbesgueLesbesgue积分的几何意
7、义与积分的几何意义与FubiniFubini定理定理 第五章 积分论 主讲 胡努春 19 重积分与累次积分重积分与累次积分 重积分重积分 累次积分累次积分 f x y 连续 20 1 1 截口定理截口定理 x Ex 证明参照教材p 136分六种情况讨论 区间 开集 型 零集 有界可测 集 一般可测集 定理1 设 是可测集 则 1 对Rp中几乎所有的x Ex 是Rq中的可测集 2 m Ex 作为x的函数 它在Rp上几乎处处 3 有定义 且是可测函数 21 2 Lebesgue2 Lebesgue积分的几何意义积分的几何意义 定理定理2 2 设 设A BA B分别是分别是R R p p 和和R R
8、 q q 中的可测集 中的可测集 则则A BA B是是R Rp q p q中的可测集 中的可测集 且且m A B mA mBm A B mA mB 证明参照教材p 139 A B 22 2 Lebesgue2 Lebesgue积分的几何意义积分的几何意义 证明参照教材p 139 则f x 是E上可测函数当且仅当 G E f x y x E 0 y f x 是Rn 1中的可测集 并且有 定理3 设f x 为可测集 上的非负函数 f x 23 3 Fubini3 Fubini定理定理 证明参照教材p 140 1 设 f p f x y 在 上可积 则对几乎所有的x A f x y 作为y的函数在B上 可积 作为x的函数在A上可积 且 先先重积分重积分后后累次积分累次积分 24 3 Fubini3 Fubini定理定理 证明参照教材p 140 2 设f x 是B上的可测函数 存在 即 f x y 作为y的函数在B上可积 且 作为x的函数在A上可积 则 f p 在A B可积 且 先先累次积分累次积分后后重积分重积分 25 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好 26
