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1、 三角函数的周期性今天是星期几?今年的平安夜是星期几?2007年的元旦是星期几?如果有一个函数称为hC二week(o,你认为这个函数有怎样的特征?前面我们还研究了三角函数f一sinx和g(0)一cosk,正弦函数和余弦函数也有类似的特征囡2一单位圆中的三角函数线可知,正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2r,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(27K十)二sinx,C0S(2T十)二C0SX.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.若记G二sinx,则对于任意xER,都有f(x+2T)=fCo.思考:如何用数学语言刻画函数
2、的周期性?期函数的定义一般地,对于函数f,如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足Z+Ce+D了09,那么函数fCo就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.思考1:周期函数的图象具有什么特征?口思考_思考2:,正弦函数、余弦函数除了2r以外还有其它的周期吗?易知2xr是正弦函数和余弦函数的屉期，相4r,6r,.以及一2f,一一都是正弦函数和余弦函数的周期,即每个常数2fr(tEZ日研0)都是这两个函数的周期.思考3:一个周期函数的周期有多少个?1.若T为函数fCo的一个周期,则KT呆0也为fC0的周期.2.对于一个周期函数fe0,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做fCo的最小正周期.3.如果不加特别说明,周期一般都是指函数的最小正周期.思考4:观察单位圆中正弦线的变化,你能看出正弦函数的最小正周期吗?取白|正弦函数的最小正周期是27;余弦函数的最小正周期是27.证明:探究1:证明正弦函数没有比2r小的正周期.假设T是正弦函数的周期,且0一T一2m,则对任意实数x都有:sin(x+7)=sinx后x-0,得sin7=0即了=AKX,KE丿.叉0一T一2r,故T=r,从而对任意实数x都应有sin(r+Z)=sinhx这与sn(三+口zsia万矛瞄E弦函数没有比2r小的因此,司期.
