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1、考点11、三角函数的图像及性质1.(2010四川高考理科6)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( ).(A) (B) (C) (D)【命题立意】主要考查三角函数图像的平移变换,周期变换.【思路点拨】变换原则:平移变换,左加右减;周期变换为前系数的变换.【规范解答】选C 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为,;再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.故选C.【方法技巧】平移变换时指系数为1时的变换.横坐标伸长到原来的2倍,即的系数变为原来的.2.
2、(2010全国高考卷理科7)为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )(A)向左平移个长度单位 (B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位 (D)向右平移个长度单位【命题立意】本题考查了三角函数的图像平移变换知识。【思路点拨】运用平移知识解决。【规范解答】 选B 由得所以【方法技巧】当函数解析式中x的系数不是1时,平移变换时要先提出x的系数,此题防止错选D项。平移的方向为:“左加右减”。3.(2010江西高考文科)如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数, ,的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是( )A BC D【命题立意
3、】本题主要考查三角函数图像的作图、识图能力。【思路点拨】将三个函数的图像作在同一个坐标系中进行比较即可。或仔细观察四个选项的相同与不同之处。【规范解答】选C,作图,结合选项进行比较。A、B、D相同,只有C不同。【方法技巧】从题设条件出发,结合所学知识点,根据“四选一”的要求,逐步剔除干扰项,从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时,先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以排除,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法,近几年高考选择题中考查较多。4.
4、(2010湖北高考文科2)函数f(x)= 的最小正周期为A. B. C.2D.4【命题立意】本题主要考查型函数的周期【思路点拨】型函数的最小正周期。【规范解答】选D,由型函数的最小正周期可得函数f(x) 的最小正周期.【方法技巧】()型函数的最小正周期;型函数的最小正周期。5.(2010上海高考理科5)“”是“”成立的( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.(C)充分条件. (D)既不充分也不必要条件.【命题立意】本题考查了充要条件、三角函数等有关知识,体现了等价转化的思想【思路点拨】先将等价转化,求出相应的x的值,再与作比较【规范解答】选A,所以“”是“”成立充分不必要条件【方法
5、技巧】(1),则A是B的充分条件,B是A的必要条件;(2)“”是的充分条件,是的必要条件6.(2010重庆高考理科6)已知函数的部分图象如图所示,则( )A=1,= B=1,= C=2,= D=2,= 第(6)题【命题立意】本小题考查形如的函数的图象和性质:如周期,平移等,考查运算求解能力,考查数形结合的思想方法.【思路点拨】从图象上找出两个已知点(,1)和是关键.【规范解答】选D (方法一)观察函数的图象可知,图象过点(,1)和,所以,所以,解得;(方法二)观察函数的图象可知,是四分之一个周期,所以函数的最小正周期是,所以,排除A,B,再由,所以,选D.【方法技巧】由图象中的条件判断出到 之
6、间的长度是四分之一个周期可以简捷解答.7.(2010江西高考文科)函数的值域为( )ABCD【命题立意】本题主要考查函数的性质:定义域和值域;考查换元及转化与划归的数学思想,考查考生的运算求解能力【思路点拨】可用换元法;转化为二次函数求值域。【规范解答】选C.令则故选C.【方法技巧】求函数的值域一般有以下常见的方法:直接法、公式法、分离变量法、单调性法、反函数法、判别式法、换元法、利用有界性、求导法、利用均值不等式等,平时应认真体会并熟练掌握.8.(2010重庆高考文科6)下列函数中,周期为,且在上为减函数的是( ) A B C D【命题立意】本小题考查形如的函数的性质:周期性、单调性、图象的
7、平移变换等,考查运算求解的能力,考查数形结合的思想.【思路点拨】先根据周期排除几个选项,再根据函数单调性确定选项.【规范解答】选A 因为函数的周期为,所以,排除C,D;再选取你熟悉的正弦或余弦函数,取原点附近的一个减区间,如函数在区间,即上是减函数,所以在上为减函数;或函数在,即上是减函数,在上是增函数.【方法技巧】(1)采用排除法,分步判断选项.(2)在选取函数的减区间时,注意由正弦或余弦函数的图象平移的方向和最短距离,选取原点右侧的第一个减区间判断.9.(2010上海高考文科7)若是方程式 的解,则属于区间 ( )(A)(0,1). (B)(1,1.25). (C)(1.25,1.75)
8、(D)(1.75,2)【命题立意】本题主要考查函数的性质、零点存在定理及不等式比较大小等有关知识【思路点拨】构造相应函数,确定(估算)函数零点所在的区间【规范解答】选 D,构造函数,因为,所以函数的零点在区间(1.75,2)内【方法技巧】方程的解函数的零点,利用零点存在定理解决。10.(2010江西高考理科)已知函数(1)当时,求在区间上的取值范围;(2)当时,求的值【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角差的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查基本运算能力。【思路点拨】(1)先化简,再求取值范围;()也要先对进行化简,再用二倍角公式求出和的值,最后代入计算.
9、【规范解答】(1)当时,又由得,所以,从而()+-+由得=,所以+,得。【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容,主要考查三角函数的变换.特别二倍角公式,平时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数的性质.对于本题第(2)问,应先化简到只含和的形式,再利用条件求解就方便多了.11.(2010湖北高考文科16)已经函数()函数的图象可由函数的图象经过怎样的变化得出?()求函数的最小值,并求使取得最小值的的集合。【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值,同时考查考生的运算求解能力【思路点拨】() 先将函数解析式等价变形为的形式,再与的表达式对照,比较它们的振
10、幅、周期、相位等写出变化过程。()将函数变形为或的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。【规范解答】(),所以要得到的图象只需把的图象向左平移个单位长度,再将所得的图象向上平移个单位长度即可。(),当且仅当时取得最小值,此时对应的的集合为。【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到或的形式(两函数所用三角函数要同名),然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到或的形式,然后结合三角函数的图像和性质求解。12.(2010湖北高考理科16)已知函数,(
11、)求函数的最小正周期;()求函数的最大值,并求使取得最大值的的集合【命题立意】本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用,考查函数=(或=)的最小正周期求法以及利用函数图象求函数值域;考查考生的运算求解能力。【思路点拨】()将函数化简成的形式,然后利用公式求其最小正周期。()将函数化简成的形式,然后利用正弦曲线的性质求其最大值以及取得最大值的的集合。【规范解答】(),因此的最小正周期为。(),当且仅当时,取得最大值,取得最大值时,对应的的集合为【方法技巧】复杂的三角函数问题如求周期、求值域等,首先要将函数解析式利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式
12、等化到最简,然后结合三角函数的图像和性质求解。10.(2010江西高考文科1)已知函数. (1)若,求;(2)若,求的取值范围. 【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查基本运算能力。 【思路点拨】(1)先对进行化简,再用二倍角公式求出和的值,最后代入计算;()也要先化简,再求取值范围. 【规范解答】(1)由得,所以.(2)由(1)得由得,所以从而.【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容,主要考查三角函数的变换.特别二倍角公式,平时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数的性质.对于本题第(1)问,应先化简到只含和的形式,再利用条件求解就方便多了.9