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1、概率论和数理统计真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）0,P（B）0，则（）A.P（B|A）0B.P（A|B）0C.P（A|B）P（A） D.P（AB）P（A）P（B）正确答案分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。解析：A： ，因为A与B互不相容，P（AB）0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。故选择A。提示： 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； 条件概率的计算公式：P（A）0时，。2.设
2、随机变量XN（1，4），F（x）为X的分布函数，（x）为标准正态分布函数，则F（3）（）A.（0.5）B.（0.75）C.（1）D.（3）正确答案分析：本题考察正态分布的标准化。解析： ，故选择C。提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f （x） 则P0X（）正确答案分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页解析： ，故选择A。提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f （x） 则常数c（）A.3 B.1C. D.1正确答案分析：本题考察概率密度的性质。解析：1 ，所以c1，故选择
3、B。 提示：概率密度的性质：1.f（x）0；4.在f（x）的连续点x，有F（X）f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页5.设下列函数的定义域均为（，），则其中可作为概率密度的是（）A.f （x）exB. f （x）exC. f （x）D.f （x） 正确答案分析：本题考察概率密度的判定方法。解析： 非负性：A不正确； 验证：B：发散；C：，正确；D：显然不正确。故选择C。提示：判定方法：若f（x）0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）N（1,2，），则Y （）正确答案分析：本题考察二维正态分布的表示方法。解析：显然，选择D。 7.已知随机变量X的概率
4、密度为f （x） 则E（X）（）A.6B.3C.1D.正确答案分析：本题考察一维连续型随机变量期望的求法。解析：解法一：根据记忆，均匀分布的期望为 ； 解法二：根据连续型随机变量期望的定义， 故选择B。提示：哪种方法熟练就用哪种方法。 8.设随机变量X与Y 相互独立，且XB（16，0.5），Y服从参数为9的泊松分布，则D（X2Y3）（）A.14B.11C.40D.43正确答案分析：本题考察方差的性质。解析：因为XB（16，0.5），则D（X）n p（1-p）160.50.54；YP（9）,D（Y）9，又根据方差的性质，当X与Y相互独立时，有D（X2Y3）D（X（2）Y3）D（X）D（2Y）43
5、640 故选择C。提示： 对于课本上介绍的六种常用的分布，它们的分布律（概率密度）、期望、方差都要记住，在解题中，可直接使用结论； 方差的性质：(1)D(C)=0 (2) D（aXb）a2D（x）； (3) 若X与Y相互独立时，D（XY）D（X）D（Y）。（4）D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）这里协方差cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）9.设随机变量ZnB（n，p），n1，2，其中0p1，则 （）正确答案分析：本题考察棣莫弗拉普拉斯中心极限定理。解析：由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理故选择B。 提示： 正确理解中心极限定理的意义：在随机试验中，不管随机变量服从何种
6、分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的！ 如何记忆中心极限定理定理结论：定理5.4：独立同分布随机变量序列Xi，E（Xi）n，D（Xi）n2， ，分布函数为Fn（x），则 ； 拉普拉斯中心极限定理同样记忆。10.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，D（X）2，则样本均值的方差D（）（）正确答案分析：本题考察样本均值的方差。解析：课本P122，定理6.1，总体X （，2），则 ，E（S2） 2。故选择D。 （二）填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分
7、。11.设随机事件A与B相互独立，且P（A）P（B），则P（A）.正确答案分析：本题考察事件的独立性及“和事件”的概率的求法。解析：因事件A与B相互独立，事件A与也相互独立，则 ，所以故填写 。提示： 四对事件：（A、B），（A、），（、B），（、）其一独立则其三独立； 加法公式：P（AB）P（A）P（B）P（AB）是必考内容，记住！ 12.设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_.正确答案分析：本题考察古典概型。解析： 故填写。提示：不要发生计算错误！ 13.设A为随机事件，P（A）0.3，则P（）_.正确答案分析：本题考察对立
8、事件概率。解析：故填写0.7 14.设随机变量X的分布律为.记YX2，则PY4_.正确答案分析：本题考察随机变量函数的概率。解析：PY4PX24P（X2）（X=2）0.10.40.5；也可求出Y的分布律Y014P0.20.30.5得到答案。故填写0.5.提示：互斥事件和的概率概率的和。 15.设X是连续型随机变量，则PX5_.正确答案分析：本题考察连续型随机变量在一点的概率。解析：设X的概率密度为f（x），则 ，故填写0.提示：积分为0：被积函数为0；积分上限积分下限。 16.设随机变量X的分布函数为F（x），已知F（2）0.5，F（3）0.1，则P3X2_.正确答案分析：本题考察用分布函数求
9、概率的方法。解析：P3X2F（2）F（3）0.50.10.4，故填写0.4. 提示：分布函数的性质：1. F（x）PXx；2.F（） 0，F（）1；3. PaXbF（b）F（a）；4. F（x）f（x），在f（x）的连续点。 17.设随机变量X的分布函数为F（x）则当x0时，X的概率密度f （x）_.正确答案分析：本题考察分布函数与概率密度之间的关系。解析：x0时，故填写。提示： 分布函数与概率密度的关系：设x为f（x）的连续点，则F（x）存在，且F（x）f（x）； 注意复合函数求导的方法。18.若随机变量XB（4， ），则PX1_.正确答案分析：本题考察二项分布的概率。解析：已知随机变量XB
10、（4，），则X的分布律为，k0，1，2，3，4则。故填写。提示：记住符号的意义。 19.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f （x，y）则PXY1_.正确答案分析：本题考察连续型二维随机变量的概率。解析：。故填写 。提示：被积函数常数时，二重积分的值积分区域的面积。 20.设随机变量X的分布律为X202P0.40.20.4则X的数学期望E（X）_.正确答案分析：本题考察离散型随机变量的期望。解析：E（X）（-2）0.4+00.2+20.40故填写0. 21.设随机变量XN（0，4），则E（X2）_.正确答案分析：本题考察随机变量函数的期望的求法。解析：已知XN（0，4），则E（X）=0，D（
11、X）=4，由D（X）=E（X2）-E（X）2，E（X2）= D（X）+ E（X）2 =4+0=4，故填写4. 22.设随机变量XN（0，1），YN（0，1），Cov（X,Y）0.5，则D（XY）_.正确答案分析：本题考察方差的性质。解析：已知XN（0，1），YN（0，1），D（X）=D（Y）=1D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）=1+1+20.5=3， 故填写3. 23.设X1，X2，Xn，是独立同分布的随机变量序列，E（Xn），D（Xn）2，n1,2，,则 _.正确答案分析：本题考察中心极限定理的应用。解析：由定理54（P112）=0.5故填写 0.524.设x1，x2，
12、xn为来自总体X的样本，且XN（0,1），则统计量 _.正确答案分析：本题考察统计量的分布之一x2布的定义。解析：由x2分布定义 ，故填写x2（n）。 25.设x1，x2，xn为样本观测值，经计算知,nx2 64，则_.正确答案分析：本题考察样本的偏差平方和。解析： 故填写36.提示：这是一个非常不被重视的内容，在课本P135，希望注意全面复习。（三）计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.设随机变量X服从区间0，1上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立，求E（XY）.正确答案分析：本题主要考察协方差的性质。解：因为X服从区间0，1上的均匀分布，所以 ，又Y服从参数为1的指数分布，所以，由协方差性质知，当X与Y相互独立时，cov（X,Y）=0，又cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y），所以，。 27.设某行业的一项经济指标服从正态分
