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1、.专题：解析几何中的动点轨迹问题学大苏分教研中心 周坤 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了.）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK，不废话了，开始进入正题吧.Part 1 几类动点轨迹问题1、 动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴
2、和y轴上滑动，点P在段AB上，求点P的轨迹。；例2 已知定点A(3,1),动点B在圆O上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.所以点P的轨迹为2、 两条动直线的交点问题例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线，设长为的线段AB在上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程例4 已知是双曲线的两个顶点，线段MN为垂直于实轴的弦，求直线与的交点P的轨迹3、 动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M与定圆相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹例6 已知圆，圆M与圆和圆都相切，求动圆圆心M的轨迹4、 动圆锥曲线中相关点的轨迹例7 已知双曲线过和，它的
3、一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹例8 已知圆的方程为，动抛物线过点和，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。OYxNMA 例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解 设M（x,y）是轨迹上任意一点，作MNL于N，由MAMN4，得 当x3时
4、上式化简为y2=12(x-4)当x3时上式化简为 y2=4x所以点M的轨迹方程为y2=12(x-4) (3x4)和y2=4x (0x3). 其轨迹是两条抛物线弧。例2 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有 ，即 ， 整理得，这就是动点M的轨迹方程若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆二、定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高
5、考中常填空题的形式出现 例3 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 上例4 若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是_解 设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是例5 一动圆与两圆
6、和都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）（A）抛物线 （B）圆（C）双曲线的一支 （D）椭圆解 设动圆圆心为M，半径为r，则有所以动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C） 三、转移法（重中之重） 若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。 例6 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上的动点，求F1F2P的重心G的轨迹方程。 解 设 重心G（x, y）, 点 P（x0, y
7、0）， 因为F1（-5，0），F2（5，0） 则有 , ， 故代入 得所求轨迹方程（y0） 例7 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线解：设，由题设，P分线段AB的比， 解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程， 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线四、点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关
8、系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线AB的斜率为，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。 例8 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。Y解 设M（x, y），A（x1, y1），B（x2, y2）PMA则x1+x2=2x , y1+y2 = 2y 由， B两式相减并同除以（x1-x2）得XO ,而kAB= kPM=, 又因为PMAB所以kABkPM=1故 化简得点M的轨迹方程xy +2x- 4y=0五、几何法 运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹
9、形成的条件，求得轨迹方程。 例9 如图，给出定点A（a,0）(a0)和直线L：x=1, B是直线L上的动点，BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。LCAOB解 设B（-1，b），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx , 设C（x,y），由点C到OA，OB的距离相等，得|y|= 又点C在直线AB上，故有y=由x-a0得b= 代入 化简整理得 y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0若y0, 则 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0xa)若y=0, 则 b=0,AOB=得C（0，0）满足上式 ，综合得点C的轨迹方程为(1-a)
10、x2-2ax+(1+a)y2=0 (0x0)上原点O以外的两个动点,且OAOB,过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程. 解1 (常规设参)设M(x,y)，A(x1,y1),B(x2,y2),则（）由A,M B共线得 则把（）代入上式得化简得M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x0)解2 (变换方向) 设OA的方程为y=kx (k0) 则OB的方程为由 得 A() ， 由得B (2pk2,-2pk)所以直线AB的方程为 因为OMAB,所以直线OM的方程为 即得M的轨迹方程:x2+y2-2px=0(x0)解3 (转换观点) 视点M为定点,令M( x0,y0), 由OMAB可得直线AB的方程为,
11、与抛物线y2=4px联立消去y 得,设A(x1,y1), B(x2,y2) 则又因为OAOB 所以 故=即 所以M点的轨迹方程为例13 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为(2)设点解方程组得 由和得其中t1消去t，得点P轨迹方程为和其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分例14 过点M(-2, 0)作直线L交双曲线xy = 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。解：设过M的直线方程为: y = k (x + 2) (k0，k1)，代入双曲线xy = 1得：（1 k）x4 kx 4 k1 = 0OAPB为平行四边形，则：x = x + x = ； yy = y + y = k (x + x) + 4k = 。
