SARS传播模型的建立

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1、SARS 传播模型的建立与分析 SARS 传播模型的建立与分析 作者 杨波 独军利 李峰 西安财经学院作者 杨波 独军利 李峰 西安财经学院 2003 届建模组 届建模组 指导教师 张爱萍指导教师 张爱萍 摘要摘要 2003 年上半年 号称中国第五大传染病的 SARS 给我国社会经济 发展带来了重大影响 本论文以传统传染病模型为蓝本 在解析了他人模型的基 础上 首先建立了 SARS 自然状态下的传染模型 然后建立了现有控制下的传染 模型及延迟控制 5 天的传染模型 进一步评析了政府的控制 SARS 的措施 最后 提出了进一步优化模型的思路 本文还以北京数据依据 利用多种分析工具 通 过建立模型

2、分析了 SARS 对经济发展的影响 并进行了预测 关键字 关键字 微分方程 曲线拟合 工具变量 一 问题的背景与提出一 问题的背景与提出 SARS Severe Acute Respiratory Syndrome 严重急性呼吸道综合症 俗称 非典型肺炎 是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病 SARS 的爆发和蔓 延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响 我们从中得到了许多重要的经 验和教训 认识到定量地研究传染病的传播规律 为预测和控制传染病蔓延创造 条件的重要性 这也是人们十分关注的问题 建立 SARS 传播的数学模型 可以在一般情况分析受感染人数的变化规律 然而实际的 SARS

3、 流行的观测往往也不完善和充分 因此我们主要是依据机理分 析的方法来建模 我们将把 SARS 流行范围内的人群分为三类 S 类 易感染 SARS 者 指未得 SARS 者 但与得 SARS 者接触后容易受到 感染的人 I 类 感染 SARS 者 指已经确诊为 SARS 患者 R 类 移出者 指因患病而死亡或被隔离 或因病愈后而具有免疫能力的人 他们这是既非得病者 也非易感病者 实际上他们已经退出了我们所考滤的 SARS 传播系统 由于在 SARS 发生的初期 社会对它的传播速度和危害程度认识不够 政府 部门没采取措施加以控制 随着 SARS 的进一步传播 政府才采取了相应的措施 给以控制和预防

4、 所以我们把 SARS 的蔓延规律按控制前和控制后两个阶段来分 别建立模型 二 对附件二 对附件 1 合理性和实用性的评价合理性和实用性的评价 对 ARS 的传播模型有多种建模方法 用数理模型进行分析具有一定的意义 和参考价值 附件一中 利用解析公式对北京SARS疫情前期趋势作了分析 首先 假定 了一个初始时刻的病例数N0 平均每病人每天可传染K个人 K一般为小数 平 均每个病人可以直接感染他人的时间为L天 在此假设下建立了在L天之内 病 例数目随时间t的解析公式模型 N t N0 1 K t 就此模型的假设条件和解析模 型我们做以下的评析 一 模型的合理性和实用性分析 a 该模型有的两变量

5、t 和 k 都具有良好的实践意义 其中 t 受到 L 直接传染期限 的约束 限制 然而 L 的设置是在 实践基础上提出来的 它综合考虑了多种因素 有一定的统 计意义 K 表示某环境下一个病人传染给他人的平均概率 这个概率也是具有强的实践基础 b 该模型变量较少 因而可以在外界条件发生变化时及时的做 出调整 有很强的适应性 从而 也使得该模型具有较强的 适应性和使用的普遍性 灵活性 c 从模型的分析上可看到 该模型的分析采用了北京 香港和 广东三地对比分析 进一步指出北京 香港 广东三地因人 口 控制时间等因素的不同 形成的疫情的差异很明确 使 人们基本掌握了 SARS 从发病到有效治愈的全过程

6、 二 模型缺点分析 a 该模型的假设条件不完备 不充分 主要表现在 对于参数 k 的变化先拟合给定在高峰期调整的方法该方法虽然能简化 问题 但它会影响模型的求解的精确性 b 从该模型的求解过程来看模型变量L K是通过随取值机与真 实值比较得出 虽然可以一步步的靠近实际情况 但是这将 使得模型只能故及过去 而不能对将来做出好的预测 因而 大大降低了模型的功用 这也是该模型最大的缺点 c 由于该模型只有两个参变量 作者欲用这两个变量来代表各 种复杂的因素对 SARS 传播的影响 虽然这样可以很大 程度降低问题的复杂度 但对于外部的各种因素在系统模型 中比例权重 影响深度 主次关系等问题分析 无法有

7、效进 行 因而 该模型在解释了问题的发展过程之后 对于今后 疾病的预测 改进等问题显得无能为力 因而也进一步会 降低该模型的功用 d 依据模型目标函数我们发现 该模型适用于短期的病情走 势 对于传染病如 SARS 这样存在着较长潜伏期的疾病 该 模型对于前期 控制前的疾病自然发展时段 有很强的适用 性 但是长期发展下去 尤其伴随着更多控制因素的介入 该模型将不能够很好的适应条件 而且该模型缺乏对变量的 微观分析和作用比较 需多次调整相关数据 此时 才可确 定参数值 因此 鉴于对该模型功能不完备和缺陷的分析 我将建立以下模型加以改进 三 建模及分析三 建模及分析 1 无控制的 SARS 模型 I

8、 模型假设 模型假设 根据模型中要考虑的易感者 感病者和移出者三类人的动态 给出以下假设 1 除感染 SARS 者的特征外 人群的个体没有差异 感染 SARS 者 与易感染 SARS 者的个体在人群中的混合是均匀的 2 SARS 所有可能传途径都视为与病源的直接接触 3 人群的数量足够大 只考虑 SARS 传播过程的平均效应 4 易感染 SARS 者感染 SARS 的机会与他接触感病者的机会成正 比 5 疾病的传染率为常数 6 在 SARS 传播期内所考察的地区总人数 N 视为常数 即不考虑出 生与死亡的过程和人群的迁入与迁出 或着人群的迁入与迁出人 数相等且这些人均没有得 SARS 时间以一

9、天为计量单位 7 根据目前的医学资料表明 SARS 治愈后均有很强的免疫能力 所以病愈的 SARS 病人即不会是易感染 SASR 者 也不会是感染 SARS 者 由假设 1 易感者 感染 SARS 者和移出者只是时间的函数 分记 S t I t 和 R t 假设 6 表明在 SARS 传播的过程中 人群的总数 N 保持不变 即 S t I t R t N 为简便起见 我们不妨将 S t I t 和 R t 理解为易感者 感染 SARS 者和移出者各在人群中所占的比例 则有 S t I t R t 1 根据假设 3 可以认为它们是连续的 而且足够光滑 II 参数设定 参数设定 k SARS 的感

10、染率 每个已被诊断的 SARS 病人每天感染 易感染者的可能性 h 移出率 为痊愈率 i 单位时间内痊愈的百分数 与死 亡率 j 单位时间内痊愈的百分数 之和 III 控制前方程的建立 控制前方程的建立 根据物质平衡法则和假设 6 通过分析可以建立如下控制前的传播模型的 微分方程组 kIS dt dS hIkIS dt dI hI dt dR 记初始时刻易感者和感病者的比例分别为S 0 S0 0 I 0 I0 0 并设初始移 出者R 0 R0 0 注意到条件S t I t R t 1 可知三个方程是相容的 因此 模 型可以化简为以下的微分方程组 kIS dt dS S 0 S0 dt dI k

11、IS hI I 0 I0 此微分方程无法求出解析解 S t 和 I t 由于控制前对疫情不太重视 我们不 能找到这期间的数据只能粗略的确定参数 k h IV 参数的确定 k 根据医学资料和有关数推倒而得 h 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析 求其统计平均值 图1为根据附件2所得到的北京市每日净增的确诊人数随时间变化情况的统计 图 现假设在 4 月 20 日开始控制 则由图可知 控制措施需要 10 天左右才能生 效 故可以认为 4 月 20 至 4 月 30 日是没有控制时的疫情传染状况 图1 6561575349454137332925211713951 V a l u e 确诊病例 1

12、60 140 120 100 80 60 40 20 0 则根据北京市 4 月 20 日至 4 月 30 日的疫情数据 我们可以粗略确定控 制前的参数 死亡率 j 累计死亡人数治愈出院累计已确诊累计人数 当日死亡人数 0 0087 治愈率 i 0102 0 累计死亡人数治愈出院累计已确诊累计人数 当日治愈人数 则 h 累计死亡人数治愈出院累计已确诊累计病人 当日死亡人数当日治愈出院 0 0087 0 0102 0 0189 1 89 注注 求死亡率和治愈率的 MATLAB 程序附后面 根据中国科学院研究生院管理学院 SARS 管理与控制研究小组 研究简报 第 1 期 中的提供的每一个 SARS

13、 病源在 5 天内平均感染 1 69 人 可求得 SARS 的感染率k 1 69 5 0 338 2 控制后的模型 I 控制后传播模型的有关假设 控制后传播模型的有关假设 1 除感染 SARS 者的特征外 人群的个体没有差异 感染 SARS 者 与易感染 SARS 者的个体在人群中的混合是均匀的 2 群的数量足够大 只考虑 SARS 传播过程的平均效应 3 感染 SARS 者感染 SARS 的机会与他接触感病者的机会成正比 4 由于控制后对流动人口加以限制 假定没有病原的输入和输出 且迁出和迁入的人数相等 时间以一天为计量单位 5 据目前的医学资料表明 SARS 治愈后均有很强的免疫能力 所

14、以病愈的 SARS 病人即不会是易感染 SASR 者 也不会是感染 SARS 者 6 SARS 所有可能传途径都视为与病源的直接接触 7 不考虑被隔离而实际又未被感染者 这部分人不会影响疾病的传 播 控后模型说明 由于缺乏权威而具体的 SARS 疫情的前期数据 我们不 能对模型中的参数进行准确的计算 因此 我们建立一个简化的控制后传 播模型 根据感染率 死亡率以及治愈率随时间变化的趋势 对控制后感 染者的变化情况作一个拟合后的预测 并与附件二所给的具体数值进行对 比 控后模型说明 由于缺乏权威而具体的 SARS 疫情的前期数据 我们不 能对模型中的参数进行准确的计算 因此 我们建立一个简化的控

15、制后传 播模型 根据感染率 死亡率以及治愈率随时间变化的趋势 对控制后感 染者的变化情况作一个拟合后的预测 并与附件二所给的具体数值进行对 比 II 参数设定 参数设定 k t SARS 的传染率随时间 t 变动的函数 h t 移出率函数 即痊愈率 单位时间内痊愈的百分数 与死亡率 单 位时间内痊愈的百分数 之和随时间 t 变动的函数 III 控制后微分方程的建立 控制后微分方程的建立 IStk dt dS IthIStk dt dI Ith dt dR 根据附件二的数据我们可以用统计软件 SPSS 进行曲线拟合 并且回归出它线性 方程如下 感染率k 图2 706050403020100 8

16、6 4 2 0 0 2 Observed Inverse Depende Mth Rsq d f F Sigf b0 b1 感染率 INV 944 62 1054 77 000 0101 7460 移出率h 图3 706050403020100 5 4 3 2 1 0 0 1 Observed Cubic Dependent Mth Rsq d f F Sigf b0 b1 b2 b3 移出率h CUB 801 60 80 56 000 0031 0030 0002 3 4E 06 图 2 拟合出了感染率随时间变化的曲线 它是所拟合的线形曲线中最好的曲 线 曲线方程为 ttk 7460 00101 0 图 3 是拟合的移出率随时间的变化的曲线 其曲线方程为 362 104 30002 0 003 0 0031 0 tttth 推迟推迟 5 天控制的情况分析 天控制的情况分析 由延迟 5 天的每天确诊比例图 图 4 可知 在 4 月 20 日至 25 日之间确 诊比率按照自然增长率急速增长 而 4 月 25 日之后 由于政府人为控制的介入 每天的确诊比率迅速下降 经过 30 天左右增长率