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1、攻读博士、硕士学位研究生试卷（作业）封面（2008至 2009学年度第 1学期）题 目 因子分析法的理论基础及其应用 科 目 高级心理统计 姓 名 杨梅 专 业 应用心理学 入学年月 2007年9月 简短评语成绩：授课教师签字：因子分析法的理论基础及其应用杨梅【摘要】：因子分析是多元统计分析技术的一个分支，其主要目的是浓缩数据。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示基本的数据结构。因子分析就是研究如何以最少的信息丢失把众多的观测变量浓缩为少数几个因子。并通过实例了解因子分析的具体应用，熟练因子分析在SPSS上的具体操作以及掌握数据解释。关键词
2、：因子分析法 理论基础 数据浓缩 SPSS1、因子分析的起源因子分析是由心理学家发展起来的，最初心理学家借助因子分析模型来解释人类的行为和能力，1904年Charles Spearman在美国心理学杂志上发表了第一篇有关因子分析的文章，在以后的三四十年里，因子分析的理论和数学基础逐步得到了发展和完善。50年代以来，随着计算机的普及和各种统计软件的出现，因子分析在社会学、经济学、医学等越来越多的领域得到应用。2、因子分析的原理2.1因子分析模型因子分析模型在形式上和多元回归模型相似，每个观测变量由一组因子的线性组合来表示。因子模型的一般表达式为： 在该模型中：(1)叫做公因子，它们是各个观测变量
3、所共有的因子，解释了变量之间的相关。（2）称为特殊因子，它是每个观测变量所特有的因子，表示该变量不能被公因子所解释的部分。（3）称为因子负载，它是第个变量在第个公因子上的负载，相当于多元回归分析中的标准回归系数（）。2.2因子分析的有关概念（1）因子负载：是因子分析模型中最重要的一个统计量，它是连接观测变量和公因子之间的纽带。当分因子之间完全不相关时，很容易证明因子负载等于第个变量和第个因子之间的相关系数。因子负载不仅表示了观测变量是如何由因子线性表示的，而且反应了因子和变量之间的相关程度，的绝对值越大，表示公因子与变量关系越密切。（2）公因子方差：也叫共同度，指观测变量方差中由公因子决定的比
4、例。变量的公因子方差记做。当公因子之间彼此正交时，公因子方差等于和该变量有关的因子负载的平方和，用公式表示为：(3)因子的贡献：每个公因子 对数据的解释能力，可以用该因子所解释的总方差来衡量，通常称为该因子的贡献，它等于和该因子有关的因子负载的平方和。3、因子分析的具体步骤3.1计算所有变量的相关矩阵相关矩阵是因子分析直接要用的数据 ，根据计算出的相关矩阵还应该进一步判断应用因子分析方法是否合适。因子分析的目的是简化数据或者找出基本的数据结构，因此使用因子分析的前提条件是观测变量之间应该有较强的相关关系。如果变量之间的相关程度很小的话，它们不可能共享公因子 。所以，计算出相关矩阵之后在进行下面
5、的步骤之前应该对相关矩阵进行检验，如果相关矩阵中的大部分相关系数都小于0.3，则不适合做因子 分析。一般用KMO测度和巴特利特球体检验来判断观测数据 是否适合做因子分析。一般情况KMO测度在0.6以上巴特利特球体检验显著，则观测数据适合做因子分析。3.2提取因子3.2.1主成分分析法主成分分析是一种数学变换的方法，它把给定的一组相关变量通过线性变换转换成一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一个变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二个变量的方差次大，并且和第一个变量不相关，称为第二主成分，依次类推，K个变量就有K个主成分，最后一个主成
6、分具有的方差最小，并且和前面的主成分不相关。因子个数的确定：（1）特征值准则：取特征值大于等于1的主成分作为初始因子，放弃特征值小于1的主成分。（2）碎石检验准则：按照因子被提取的顺序，画出因子的特征值随因子个数变化的散点图，根据图的形状来判断因子的个数 。该图的形状像一个山峰，从第一个因子开始，曲线迅速下降 ，然后下降变的平缓，最后变成近似一条直线，曲线变平开始的前一点认为是提取的最大因子个数。3.2.2公因子分析法公因子模型是从解释变量之间的相关关系出发的，假设观测变量之间的相关能完全被公因子解释，变量的方差不一定能完全被公因子解释，这样每个变量被公因子所解释的方差不再是1，而是公因子方差
7、。所以公因子模型在求因子解时，指考虑公因子方差。3.3进行因子旋转初始因子解达到了数据化简的目的，在求初始因子解这一步中，确定了公因子数，确定了每个变量的公因子方差。但是根据初始因子解，往往很难解释 因子的意义，大多数因子都和很多变量有关。因子是通过数学方法求解得到的，但研究人员往往很关心每个因子 的实际意义是什么，否则就很难理解和把握因子 分析的结果 。因子 旋转是寻求这一实际意义的有效工具，因子旋转的目的是通过改变坐标轴的位置，重新分配各个因子所解释的方差的比例，使因子结构更简单，更易于解释。因子旋转不改变模型对数据 的拟合程度，不改变每个变量的公因子方差。3.3.1正交旋转正交旋转是使因
8、子轴之间仍然保持90度角，即因子之间是不相关的。正交旋转方法主要有三种：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。最常用的是方差最大法，它从简化因子负载矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的负载平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的负载时，对因子的解释是最简单的，和某个因子有关负载平方的方差最大时，因子具有最大的可解释性。3.3.2斜交旋转方法斜交旋转中，因子之间的夹角可以是任意的，即因子之间不一定是正交的，所以用斜交因子描述变量会使因子结构更为简洁。在斜交旋转中，因子负载不再等于因子和变量之间的相关系数，因子结构和因子模型之间是有区别的。3.4计算因子值如果我们要使用所提取的因子做
9、其它研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析对样本进行分类或评价，这些都需要对因子进行测度，给出因子对应每个样本案例上的值，这些值称为因子值。因子分析模型中，是用因子的线性组合来表示一个观测变量，因子负载实际是该线性组合的权数。求因子值的过程是通过观测变量的线性组合来表示因子，因子是观测变量的加权平均。因为各个变量在因子上的负载不同，所以不能把变量简单的相加，权数是我大小表示了变量对因子的重要程度。对于主成份分析法得到的因子解，可以直接得到因子值系数，对于其他方法得到的因子解，只能得到因子值系数的估计值，通常用回归方法得到因子值系数的估计值。4、案例分析4.1案例 调查20个地区小学生辍学
10、率的影响因素，包括家庭经济状况、当地经济状况、自身心理素质、家庭成员素质、师资力量、社会文化趋向、身体健康状况、宏观教育背景、国家教育政策等指标、具体调查数据如下，根据这9项内容经行因子分析，得到维度较少的因子。4.2结果分析从上表可以得出，KMO是Kaiser-meyer-Olkin的取样适当性量数，当KMO值愈大时，表示变量的共同因素愈多，愈适合进行因素分析，根据学者Kaiser观点，如果KMO的值小于0.5时较不宜进行因素分析，此处的KMO值为.427,不太适合因子分析。巴特利特球行检验给出的相伴概率为0.000，小于显著性水平0.05，因此拒绝其零假设，认为可以做因子分析。提取方法：主
11、成份分析法，最右边一栏为题项的共通性。表三中，第一列是因子序号。第二列是因子变量的方差贡献（特征值），它是衡量因子重要程序的指标。第三列是各因子变量的方差贡献率，表示该因子描述的方差占原有变量的总方差的比例。第四列是各因子变量的累计方差贡献率。第五到第七是旋转以后得到的因子对原变量总体的刻画情况。第八到第十列是从初始解上按照一定标准提取了四个公因子后对原变量总体的描述情况。从上表可以得出,其中前四个因子的特征值大于1，可见提取四个因子后，它们反映了原变量的大部分信息。从碎石图可以看出，第四个因子之后，碎石图的变化比较平缓，这和表三分析的结果一致。所以确定取四个因子。此表表示的是，在没有进行因子
12、旋转时因子的载荷情况，但此时的载荷不能明显的表明各个因子在因变量上的负荷情况。表五中题项在其所属之因素层面顺序，是按照因素负荷量的高低排列。转轴的主要目的，在于重新安排题项在每个共同因素上的因素负荷量，转轴后，使原先转轴前较大因素负荷量变得更大，而转轴前较小的因素负荷量变得更小。转轴后题项在每个共同因素之因素负荷量的平方总和不变。此表表示的是，在进行了因子旋转后，因子的载荷情况，此时的载荷能明显的表明各个因子在因变量上的负荷情况。表六表示的是因子旋转矩阵，标明了因子提取的方法是主成分分析法，旋转的方法是方差极大法。表七是因子变量的协方差矩阵。从协方差矩阵看不同因子之间的差距为零，因而证实了四个
13、因子变量之间是不相关的。4.3因素命名根据因素所涵括的题项内容，将因素加以命名。第一个因素包括的题项有：家庭经济状况、当地经济状况、自身心理素质、家庭成员素质四项，综合这四项所反映的内容，将第一个因素命名为第二个因素包括的题项有：社会文化趋向、宏观教育背景、国家教育政策，综合这四项所反映的内容，将第二个因素命名为文化教育背景。第三个因素只含师资力量这一题项，因此将其仍命名为师资力量。第四个因素只含健康状况这一题项，因此将其仍命名为健康状况。参考文献：1 郭志刚主编.社会统计分析方法SPSS软件应用.北京:中国人民大学出版社,20072 杨晓明主编.SPSS在教育统计中的应用.北京:高等教育出版社,20053 吴明隆编著.SPSS统计应用实务.北京:中国铁道出版社,2001
