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1、.本 科 毕 业 设 计（论文）微分中值定理的推广及应用The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application学 院 （系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 学 号： 101108072 指 导 教 师（职称）： 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 2012.04 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology微分中值定理的推广及应用数理学院 摘 要 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系
2、等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationMathematical Institute Abstract: In this paper, the differential mean value theorem of the general license based on the method, gives a new proof
3、 method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence of root and so on several aspe
4、cts of the application.Key words: Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermats theorem目 录0 绪论11 微分中值定理及相关的概念12 微分中值定理普遍的证明方法22.1 费马定理22.2 罗尔中值定理22.3 拉格朗日中值定理32.4 柯西中值定理43 中值定理的推广43.1 关于三个中值定理新的证明方法4 3.2 微分中值定理的推广6 3.3 微分中值定理的弱逆定理 104 微分中值定理的应用114.1 利用微分中值定理证明等式114.2 利用微分中值定理证明不等式1
5、44.3 讨论方程根的存在性 15结束语18参考文献18致谢180绪论微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容.1 微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数
6、导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (最小值或最大值) 设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点).定义2 (极小值或极大值) 设在任意上有定义,若存在任意,都有 (),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点).定义3 (极限的局部保号性) 若,则存在任意使得.定义4 (函数单调性) 函数在定义域内,当时,有则称单调递增(严格单调递增).当时,有,则称单调递减(严格单调递减).定义5(凸性) 若函数曲
7、线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).定义6(凹性) 若的一阶导数在上单调递增(或递减),则称在是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).2 微分中值定理普遍的证明方法2.1 费马定理定理1 设在区间有定义.若是函数的极值点,且在处可导,则.费马定理的几何意义:若将函数的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线上,若有一点存在切线,且为极值点.则这一点处的切线平行于轴.证明 为的极值点.设为极小值点,则存在任意,有,若,则 ;若,则 ;取极限与分别为、,由于在处可导,则=由极限的局部保号性有, .故 =.所以有 , 即.2
8、.2 罗尔中值定理 定理2 设满足:(1) 在闭区间上连续; (2) 在开区间内可导; (3) ,则至少存在一点使得.罗尔定理的几何意义:若满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点,使得点处的切线平行于轴(如图), 其中,.证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值,最小值.若则对任意有,即为常函数,所以.若,由于.与不同时为区间的端点,不妨设,所以必为的极大值.设,则有,且在内可导,根据费马定理可知 .证毕.2.3 拉格朗日中值定理 定理3 若函数满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;则至少存在一点使得.证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数.证明 作辅助函数,显然,在上连续,
9、 在内可导,且,由罗尔定理可知,存在一点 使得 即.推论 设、都在区间上可导,且,则2.4 柯西中值定理 定理4 设函数、满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导,且，则至少存在一点使得.证明 由定理条件可知,则任意都有,因此,只需证 ,为此,构造函数,显然,在上连续,在内可导,且,根据罗尔定理,存在,使得,即, 所以.3 中值定理的推广微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位,其证明方法也有多种.3.1 关于三个中值定理新的证明方法3.1.1 罗尔定理的新证法引理1非单调函数在上连续,在内可导,则存在一点,使得.证明 因为在上连续,且非单调,故存在为函数的极
10、值点.又在内可导,故在点可导,由费马定理可知.罗尔定理的新证法 证明 因为,且. （1） 若为常数,则必有，所以,存在,使得;（2） 若不是常数,则非单调,又有在上连续在内可导,根据引理1,存在,使得 .证毕.3.1.2 拉格朗日中值定理的新证法证明（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在使得 成立，即证,存在使得 (1) 成立.亦即 (2)记,则由满足罗尔定理的条件知,存在使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.1.3 柯西中值定理的新证法 证明 首先构造辅助函数,由于,故可知恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 使得.我们不妨设恒大于零.于是,对于任意
11、,其中,.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得在闭区间上连续;在开区间内可导,且故即是要证明,因此可构造辅助函数:,可以验证满足罗尔定理的条件,故至少存在一个,使得成立.再由知,至少存在使得成立,柯西中值定理得证.3.2 微分中值定理的推广 微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式.3.2.1 罗尔定理的推广 定理5 设在内可导,且,其中,则存在使得.证明 由于在内可导,则必有在上连续,又有. (1)当时,对在两点进行连续延拓,使得,则有在上连续,在内可导且有,所以,满足罗尔定理的条件,存在使得.(2)当
12、时,由于,故存在,使得,所以在上连续,在内可导,满足罗尔定理,即存在使得.综上所述,存在使得.3.2.2拉格朗日中值定理的推广 定理6(推广一) 设在上连续,在内可导,则存在使得.证明 作辅助函数,很明显在连续,在内可导,且,则根据罗尔定理有,存在使得,命题得证.定理7(推广二) 若在有限开区间内可导,且与存在,则至少存在一点使得.证明 （1）当时,由定理5可知,结论成立.（2）当时,作辅助函数,由在内可导知,在内也可导,又因为;,根据定理5可知,至少存在一点使得.进而有,即.综上所述,存在一点使得.3.2.3柯西定理的推广 定理8(推广一) 在连续,在内可导,任意,有.则存在使得.证明 作一个辅助函数,则在连续,在内可导,且,所以在上满足罗尔定理,即存在使得.因为,所以,即得.定理9(推广二) 若在有限或无穷区间中的任意一点有有限导数和,任意,都存在,则至少存在一点使得 .证明 首先证明.假设即,根据定理5可知,至少存在一点使得.与已知条件
