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1、20042004 年年数值分析试题数值分析试题 2002004 4 注 计算题取小数点后四位 1 1 10 分 利用 Gauss Legendre 求积公式 1 1 7746 0 5556 0 0 8889 0 7746 0 5556 0 fffdxxf 导出求积分 0 3 f x dx 的三点高斯型求积公式 2 2 15 分 写出求解线性代数方程组 123 12 13 225 31 272 xxx xx xx 的 Gauss Seidel 迭代格式 并分析此格式的敛散性 3 3 15 分 设矩阵 2101 1030 0201 3010 A 1 试计算 A 2 用 Householder 变换
2、阵 H 将 A 相似约化为上 Hessenberg 阵 即 HAH 为上 Hessenberg 阵 4 4 10 分 求关于点集 1 2 3 4的正交多项式 012 xxx 5 5 10 分 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线 使之拟合下列数据 1 02 03 04 0 0 81 51 82 0 i i x y 6 20 分 给出数据点 0134 19156 i i x y 1 用 012 x x x构造二次 Lagrange 插值多项式 2 L x 并计算1 5x 的近似值 2 1 5 L 2 用 123 x x x构造二次 Newton 插值多项式 2 Nx 并计算1 5x 的近似值
3、2 1 5 N 3 用事后误差估计方法估计 2 1 5 L 2 1 5 N的误差 7 7 10 分 设矩阵 A 可逆 A 为 A 的误差矩阵 证明 当 1 1 A A 时 AA 也可逆 8 8 10 分 设 f x四阶连续可导 0 0 1 2 i xxih i 试建立如下数值微分 公式 012 1 2 2 f xf xf x fx h 并推导该公式的截断误差 数值分析答案数值分析答案 1 1 10 分 解 作变换 33 2 t x 则 3 0 1 1 xt 于是原积分可化为 011 311 3333 2222 3 0 5556 0 7746 0 8889 0 0 5556 0 7746 2 0
4、 8334 2 6619 1 3334 1 5 0 8334 0 3381 f x dxftdtg t dt ggg fff 即为所求Gauss求积公式 2 2 15 分 解 方程组的 Gauss Seidel 迭代格式为 1 123 1 1 21 1 1 31 522 1 3 22 7 kkk kk kk xxx xx xx 其迭代矩阵为 1 022 1022 22 13000 33 2070 44 0 77 G B 其特征方程为 32 22 3021260 207 解之得 123 26 0 21 谱半径 26 1 21 G B 故迭代发散 3 3 15 解 1 4 14 1 max4 ij
5、 i j Aa 2 设 2 1 0 3 2 0 0 T T xy 由 22 xy 且 2 sgn sgn 1x 可得2 设 31 0 3 0 3 0 0 22 T T u uxyw u 1000 0 13 00 3 1 22 20 3 0 3 0 00106 3 31 00 22 T T HIwwI 从而 1313 20 22 2030 231 2 3 00 22 0010 HAH 即为所求上 Hessenberg 阵 4 4 10 分 解 定义 f x g x在点集 1 2 3 4上的内积为 44 11 ii ii f gf x g xf i g i 设 0 1x 由schmitt正交化方法
6、可得 0 10 00 2 5 x xxx 22 22 01 201 0011 55 xx xxxx 5 5 10 分 解 设 2 12 xxxx 所求曲线为 12 s xaxbx 12 110 8 241 5 391 8 4162 0 Y 则法方程为 11121 21222 Ya Yb 即 3010017 2 10035455 a b 解之得 0 9497 0 1129 a b 于是所求曲线为 2 12 0 94970 1129s xaxbxxx 6 6 20 分 解 1 由Lagrange插值得 2 2 2 0 1 66679 6667 1 i i i L xy l xxx 于是 2 1 5
7、 11 75L 2 差商表如下 i x i y 一阶差商 二阶差商 1 000000 9 000000 3 000000 15 000000 3 000000 4 000000 6 000000 9 000000 4 000000 插值多项式为 4 2 4196Nxxx 从而有 2 1 5 13 5N 3 由事后误差估计可得 1222 2222 1 50 1 5 1 5 1 5 1 5 0 6563 04 1 54 1 5 1 5 1 5 1 5 1 0938 04 RfLLN RfNLN 7 7 10 分 解 由题可得 11 1AAAA 从而有 1 IAA 可逆 即 11 IAAAAA 可逆
8、 从而AA 可逆 8 10 分 解 234 4 011111 234 4 211112 2 2 4 012 1 2 23 4 23 4 2 12 hhh f xf xhfxfxfxf hhh f xf xhfxfxfxf h f xf xf xh fxf h 两式相加除 得 2 2005005 年数值分析试题年数值分析试题一一 2005 2005 注 计算题取小数点后四位 一 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 若 3 32 101 1 1 1 1 12 2 xx S x xa xb xcx 是三次样条函数 则a b c 2 以n 1 个整数点k k 0 1 2 n 为节点的 Lagra
9、nge 插值基函数为 lk x k 0 1 2 n 则 0 n k k klx 3 序列 n 0 n y 满足递推关系 1 101 1 2 nn yyn 若 0 y有误差 这个计算 过程是否稳定 4 42 23 1 2 3 4 5 6 f xxxf 若若则则 5 下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为 for j for j 1 1 n n for i for i 1 1 m m y i A i j y i A i j x j y i x j y i endend endend 二 简单计算题 每小题 6 分 共 18 分 1 已知矩阵 134 321 411 A 求 Givens 变换
10、阵 G 使 GAG T 为三对角阵 不用计算 GAGT 2 设 32 11 A 求 1 cond A 3 确定数值求积公式 1 0 311 1 434 f x dxff 的代数精度 三 12 分 已知矩阵 020 212 021 A 用施密特正交化方法求矩阵 A 的正交分解 即 A QR 四 10 分 应用 Lagrange 插值基函数法 求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式 000 111 iii xyy 五 10 分 设 f x三阶连续可导 0 0 1 2 i xxih i 试推导如下数值微分 公式的截断误差 012 2 4 3 2 f xf xf x fx h 六 10 分
11、利用求积公式 2 3 0 2 3 31 1 1 2 fffdx x xf 1 2 0 x dx 求求定定积积分分 七 15 分 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线 使之拟合下列数据 01 02 03 0 0 20 51 01 2 i i x y 并求最小二乘拟合误差 2 八 10 分 1 2011 050 3 2031 0 1 2 kkk Ab xxa Axbk Axbaa 已已知知 用用迭迭代代公公式式 求求解解问问 取取什什么么实实数数可可使使迭迭代代收收敛敛 且且 为为何何值值时时 收收敛敛最最快快 数值分析答案数值分析答案 一 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 1 a a
12、3 3 b b 3 3 c c 0 2 0 2 0 n k k klxx 3 3 不稳定不稳定 4 4 1 2 3 4 5 6 0f 5 5 m nnm yAxy ARxRyR 二 简单计算题 每小题 6 分 共 18 分 2 11 1 1 1 121 4 14 5 13 cond AAAA 3 代数精度为 2 121 111 22211212 33311322312 11 212 2123 12 0 2 0 2 1 2 0 2 1 0 2 0 0 1 0 1 2 0 2 1 0 1 2 11 2 1 0 1 22 2 2 2 11 2 22 TTT TT TT T uuu vu vuuu v
13、uuuu u u u 三 分 三 分 212 01 21 2 10002 21 2 01 21 2001 2 AQR 1 1 2 2 11 1 1 2 1 22 11 1 2 1 2 1 1 10 H 2 1 1 2 3 1 2 0 23 1 32 1 1 1 xhxhx hxxaxbhxx axbax haba bhaba hxxx hxxxhxxx h hxxx H xhxhxx 四四 分分 令令 由由解解得得 令令 由由 2 23 23 1 2 xxx xx 2222 434 tan cos sin 355 100 03 54 5 04 53 5 j i ijij x x CS xxxx
14、 G 1 1 五 10 分 23 02221 23 12222 2 3 012 2 48 2 23 23 4 3 23 hh f xf xhfxfxf hh f xf xhfxfxf h f xf xf xh fxf h 1 4 2 除2 得 六 10 分 1 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dt t t t f dt t fdxxf 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 6 22 fff 3600 0 96 11 2 1 2 2 3 1 4 1 2 1 2 2 3 1 6 22 1 0 2 dxx故故 七 15 分 2 12 xx
15、xx 2 12 2 2 1 000 2 110 5 241 0 391 2 14366 10 6184 369815 30 0711 0 61840 0711 2 730 61846 10 0711 Y aa bb s xxx Y YaYbY 15 3 0 0456 2 123 123 201 10 050 5 54 203 1 4 5 1 14 15 1 111120 1 14 111410 2 IA BIaAaaa aaa aaa 八八分分解解 迭迭代代矩矩阵阵的的特特征征值值为为 2 15 111510 5 2 0 5 1 1 15 11562 3 1 3 aaa a aaaaaa a
16、当当时时 迭迭代代格格式式收收敛敛 当当时时 收收敛敛最最快快 20052005 年年数值分析试题数值分析试题二二 20052005 注 计算题取小数点后注 计算题取小数点后 5 5 位 位 一 一 填空题填空题 每空每空 3 3 分 共分 共 1515 分分 1 形如 0 n b kk a k f x dxA f x 的插值型求积公式 其代数精度至少可达 次 至多可达 次 2 以 n 1 个整数点 k k 1 2 n n 1 为节点的 Lagrange 插值基函数为 lk x k 1 2 n n 1 则 1 1 1 0 n n k k lk 3 42 23 1 2 3 4 5 f xxxf 若若则则 4 下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为 for j for j 1 n 1 n 1 1 b j b j L j j b j b j L j j b j 1 n b j 1 n b j 1 n b j 1 n b j L j 1 n j b j L j 1 n j endend b n b n L n n b n b n L n n 二 简单计算题 每小题 6 分 共 18 分
