《江苏南通市2020届高三基地学校第一次大联考数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏南通市2020届高三基地学校第一次大联考数学试题（解析版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届高三基地学校第一次大联考数学注意事项考些在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前、请您务必将自己的姓名、考试证导等用书写黑色宇迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写照色字迹的0.5毫米签宇越写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.参考公式：样本数据的方差，其中.柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高.球体的体积公式，其中为球体的半径.一、填空题：本大题共14小题
2、，每小题5分，共计70分.把答案填写在答题卡相应位置.1.已知集合，则_.【答案】.【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：集合，.故答案为：.【点睛】本题考查交集的求解，是基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_.【答案】5.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.【详解】设，则，则，故答案为：5.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_.【答案】42.【分析】由已知中的程序代码，可得程序的功能是利用循环计算变量S的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案.【详解】解：由已知中的程序代码，模拟程序
3、的运行过程可得：当时，减少为17，；当时，减少为14，；当时，减少为11，；当时，不满足继续循环的条件，故输出结果为.故答案为：42.【点睛】本题考查的知识点是伪代码，循环结构，模拟程序运行结果，是解答此类问题常用方法.4.若样本数据3，4，5，的平均数为4，且，则此样本的方差为_.【答案】2.【分析】关键寻找关于的方程组，题目中说的平均数和就是要找的方程，解方程组，即可求出的值，从而利用方差公式求解即可.【详解】解：由已知得，即，又，则一个是2，一个是6，方差，故答案为：2.【点睛】本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题.5.从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于1
4、0的概率为_.【答案】.【分析】从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，先求出基本事件总数，再求出两数之积大于10包含的基本事件个数，由此能求出两数之积大于10的概率.【详解】解：从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，基本事件总数，两数之积大于10包含的基本事件有（3，4），（3，5），（4，5），两数之积大于10的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.6.现有一个半径为的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为_.【答案】4【分析】直接利用球的体积和圆锥的
5、体积相等求出结果.【详解】解：根据题意球圆锥，设圆柱铁器的高为整理得，解得.故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和圆锥的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.7.已知函数的图象关于点对称，则的最小值为_.【答案】.【分析】由题意可得，求得的解析式，可得的最小值.【详解】解：由题意可得，求得，又，则的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题.8.设等差数列的前项和为，若，则的值为_.【答案】.【分析】由得，代入中计算可得结果.【详解】解：由得，即，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列通项公式及前项和公式的应
6、用，是基础题.9.在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为_.【答案】.【分析】将抛物线方程变形为，求导，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据与准线的交点列方程求解即可.【详解】解：由已知得，即，当时，解得，故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义及抛物线切线方程的求解，导数的应用是关键，是基础题.10.已知是定义在上的奇函数，当时，.则满足不等式的实数的取值范围是_.【答案】.【分析】根据题意，由函数的解析式可得在区间上为增函数，且，结合函数的奇偶性和单调性可得，解得的取值范围，即可得答案.【详解】解：根据题意，函数满足当时，则在区间上为增函
7、数，且，又由函数为奇函数，且函数是上的连续函数，则在上为增函数，则，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于的不等式.11.已知为正实数，则的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】令，则，利用基本不等式即可求最值.【详解】解：令，则，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.【点睛】本题基本不等式求最值，其中换元法的使用让式子更简化直观，本题难度不大.12.在中，已知，若为中点，且，则_.【答案】.【分析】由两边同时平方可得，又，代入已知条件计算即可.【详解】解：，解得，故答案为：.【点睛】本题在三角形中考查了数量积的运算，以及模的运算，考查学生计算能力，
8、难度不大.13.在平面直角坐标系中，已知是圆的直径.若与圆外离的圆上存在点，连接与圆交于点，满足，则半径的取值范围是_.【答案】.【分析】推导出ON是ABM的中位线，进而点M在以B为圆心，4为半径的圆周上，；点M可以认为是以O为圆心6为半径的圆上一点，这个圆记为，再由点M是在与圆O外离的圆上的点，得到，由此能求出存在符合题意的点M时，的取值范围.【详解】解：AM与圆O交于点N，且圆心O是AB中点，ON是ABM的中位线，BM2ON4，点M在以B为圆心，4为半径的圆周上，；又B是圆O上任意一点，点M可以认为是以O为圆心6为半径的圆上一点，这个圆记为，又点M是在与圆O外离的圆上的点，.存在符合题意的
9、点M时，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查圆半径取值范围的求法，考查直线方程、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.14.已知函数与的零点分别为和.若，则实数的取值范围是_.【答案】.【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.【详解】解：由，得，对于函数，在上单调递增，在上单调递减，其图像如下图，由，得，对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图， 令得，要，则直线要在点下方，故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为函数图象交点问题，利用数形结合研究的位置关系是解决本题的关键.二、解答题：本大题共6小题
10、，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥中，.为的中点，为上一点，且平面.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）通过证明为中点可得，进而可证明平面；（2）由平面可得平面平面，又，则可证明平面，进而可得平面平面.【详解】（1）因为平面平面，所以.因为为一点，所以为中点. 因为为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以平面平面. 因为，所以. 因为平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及面面垂直的证明，是基础题
11、.16.在中，角所对边分别为.已知.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，化简可得，则角可得；（2）由可得，则展开计算即可.【详解】（1）在中，因为，所以. 结合正弦定理得，即. 因为，所以，所以.可得；（2）在中，因为，则，.又因为，则. 所以.【点睛】本题考查了三角恒等公式的应用以及正弦定理的应用，属于中档题17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.求的值；
12、求证：直线的交点在定直线上.【答案】（1）；（2）2，证明见解析.【分析】（1）根据焦距可得，再将点代入椭圆的方程，可得椭圆方程；（2）设，代入椭圆方程计算可得，再得到，计算即可得结果；直线的方程为，直线的方程为，消去可得结果.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，所以. 又因在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设，则，所以，即.又因为均在轴上方，所以. 因为，所以. 因为，所以直线的方程为，易得，所以直线的方程为，又因为直线的方程为， 所以，解得.所以直线的交点在轴上.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查定直线问题，考查计算能力与方程思想，是中档题.18.某生态农场有一矩形地块，地块
13、内有一半圆形池塘（如图所示），其中百米，百米，半圆形池塘的半径为1百米，圆心与线段的中点重合，半圆与的左侧交点为.该农场计划分别在和上各选一点，修建道路，要求与半圆相切.（1）若，求该道路的总长；（2）若为观光道路，修建费用是4万元/百米，为便道，修建费用是1万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值.【答案】（1）百米；（2）万元.【分析】（1）利用图中边角关系，分别计算出，的长度，相加即可；（2）设，得的取值范围是，可得修建观光道路与便道的总费用，利用导数求其最值即可.【详解】（1）因为，所以. 而,所以.答：道路的总长为百米. （2）设.若点与点重合，则；若点与点重合，则，所以由题
14、意，的取值范围是. 设切点为，连结.则.设修建观光道路与便道的总费用为万元，则. 设，则.令，得，令，且. 列表如下：-0+极小值所以当时，取得最小值.所以. 答：修建观光道路与便道的总费用的最小值为万元. 【点睛】本题考查含三角型函数模型的应用、导数的性质及应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题.19.设为数列的前项和，若（为常数）对任意恒成立.（1）若，求的值；（2）若，且.求数列的通项公式；若数列满足，且，求证：数列为等比数列.【答案】（1）；（2），证明见解析.【分析】（1）由题可得数列为等比数列，则可得，进而答案可求；（2），利用求数列的通项公式；由可得，则，又，可求出，计算，进一步，则可得，代入计算可得，得证.【详解】（1）因为，所以，所以数列为等比数列.所以，所以. （2）.当时，解得或（舍去） 当时，化简得：.又因为，所以，所以数列为等差数列，所以.
