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1、12回归分析 一 一般概念 相关 correlation 相关分析 研究多个变量之间相互关系的统计方法 英国遗传学和统计学家F Galton 1822 1911 首次在 自然遗传 一书中 提出并阐明了 相关 和 相关系数 两个概念 为相关论奠定了基础 相关分析可以确定两变量间相关关系的强弱和方向 回归 regression 回归分析方法是处理变量间相关关系的一种重要的数学工具 回归分析可以提供变量间相关关系的一个确定的数学表达式 经验公式 回归分析中 可以检验所得到的经验公式是否有效 回归分析中 可以根据一个或几个变量的值 预测或控制另一个变量的取值 F Galton和KarlPearson发
2、现儿子身高 Y 英寸 与父亲身高 X 英寸 存在线性关系 也就是说 高个子父代的子一代在成年之后的平均身高不是更高 而是稍矮于其父代水平 而矮个子父代的子一代的平均身高不是更矮 而是稍高于其父代水平 Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之为 回归 回归 regression 相关分析是研究事物或现象之间有无关系以及关系的方向和密切程度的分析方法 回归分析是研究事物或现象之间数量依存的关系的分析方法 二 一元线性回归 一元线性回归模型 估计 容量为n的二维样本 x1 y1 x2 y2 xn yn 线性回归方程 如何确定模型中的a和b 最小二乘法 例 某工厂在分析产量与成本关系时 选取了十个小
3、组作样本 得到以下统计数据 求y关于x的线性回归方程 解 三 相关系数与回归的显著性检验 即使平面上n个杂乱无章的样本点也可以得到回归方程 但实际上此时的回归方程毫无意义 究竟在什么情况下所配的回归直线才有意义 回归方程真的揭示了X和Y之间存在线性关系的内在规律 问题2 X和Y之间如果有线性回归函数 是否可以用某个指标来描述X和Y之间的线性关系的密切程度呢 问题1 X和Y之间是否有线性回归函数 回归显著性检验 相关系数确定系数 平方和分解公式 回归直线拟合程度的度量 样本相关系数 反映X和Y线性关系方向和程度的指标 Q回在Syy中占的比例越大 说明X和Y线性关系越强 称为确定系数或决定系数 线
4、性回归的显著性检验X与Y之间是否存在显著的线性关系呢 H0 b 0 H1 b 0 SPSS中提供了两种检验方法 F检验和t检验 例 K Pearson搜集了大量父亲身高与儿子身高的资料 其中10对如下表所示 单位 英寸 1 建立Y对于X的回归方程 2 对建立的线性回归方程作假设检验 0 05 解 H0 b 0 H1 b 0 H0 b 0 H1 b 0 四 预测与控制 预测 给定自变量X的某一个值X0 以一定的置信度预测对应的Y的观察值Y0的取值范围 这种预测的取值范围称为预测区间 Y0的置信度为1 a的置信区间是 其中 例 在上例中 如果已知一位父亲的身高为69英寸 利用已建立的回归方程求出其孩子身高的置信度为95 的预测区间 解 Y0的置信度为1 a的置信区间是 其中 控制 求出X的取值区间 x1 x2 使得对应的Y的取值以1 a的概率落在已知的 y1 y2 内 x1 x2 五 一元非线性回归 非线性关系转化到线性关系 THEEND
