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1、数学物理方程与特殊函数 课程的内容 三种方程 四种求解方法 二个特殊函数 能量积分法 变分法 非线性偏微分方程 分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法 波动方程 热传导方程 拉普拉斯方程 贝赛尔函数 勒让德函数 数学物理方程定义 描述某种物理现象的数学微分方程 一 基本方程的建立 第一章一些典型方程和定解条件的推导 二 定解条件的推导 三 定解问题的概念 一 基本方程的建立 条件 均匀柔软的细弦 在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 不受外力影响 例1 弦的振动 简化假设 2 振幅极小 张力与水平方向的夹角很小 1 弦是柔软的 弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向 牛顿运动定律 横向 纵向 其
2、中 其中 其中 一维波动方程 令 非齐次方程 自由项 齐次方程 忽略重力作用 从麦克斯韦方程出发 在自由空间 例2 时变电磁场 对第一方程两边取旋度 根据矢量运算 由此得 得 拉普拉斯算子 同理可得 电场的三维波动方程 磁场的三维波动方程 例3 静电场 电势u 确定所要研究的物理量 根据物理规律建立微分方程 对方程进行化简 拉普拉斯方程 无源场 泊松方程 例4 热传导 所要研究的物理量 温度 根据热学中的傅里叶实验定律 在dt时间内从dS流入V的热量为 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式 矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分 热传导现象 当导热介质中各点的温度分布不均匀时
3、 有热量从高温处流向低温处 流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量 温度发生变化需要的热量为 热传导方程 稳恒温度场 有界杆上的热传导 杆的两端绝热 同一类物理现象中 各个具体问题又各有其特殊性 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史 即个性 初始条件 能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件 边界条件 能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件 二 定解条件的推导 其他条件 能够用来说明某一具体物理现象情况的条件 初始时刻的温度分布 B 热传导方程的初始条件 C 泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态 与初始状态无关 不含初始条件 A 波动方程的初始条件 1
4、 初始条件 描述系统的初始状态 系统各点的初位移系统各点的初速度 2 自由端 x a端既不固定 又不受位移方向力的作用 2 边界条件 描述系统在边界上的状况 A 波动方程的边界条件 1 固定端 对于两端固定的弦的横振动 其为 或 3 弹性支承端 在x a端受到弹性系数为k的弹簧支承 或 B 热传导方程的边界条件 1 给定温度在边界上的值 S 给定区域v的边界 2 绝热状态 3 热交换状态 牛顿冷却定律 单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比 热交换系数 周围介质的温度 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 1 定解问题 三 定解问题的概念 1
5、 初始问题 只有初始条件 没有边界条件的定解问题 2 边值问题 没有初始条件 只有边界条件的定解问题 3 混合问题 既有初始条件 也有边界条件的定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起 就构成了一个定解问题 定解问题的检验 解的存在性 定解问题是否有解 解的唯一性 是否只有一解 解的稳定性 定解条件有微小变动时 解是否有相应的微小变动 3 线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程 2 微分方程一般分类 1 按自变量的个数 分为二元和多元方程 2 按未知函数及其导数是否线性 分为线性微分方程和非线性微分方程 3 按方程中未知函数导数的最高阶数 分为一阶 二阶和高阶微分方程 线性方程的解具有叠加特性 4 叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加 物理上 判断下列方程的类型 思考 5 微分方程的解 古典解 如果将某个函数u代入偏微分方程中 能使方程成为恒等式 则这个函数就是该偏微分方程的解 形式解 未经过验证的解为形式解 6 求解方法 分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
