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1、概率论与数理统计 4两个随机变量的函数的分布 第三章 二维随机变量及其概率分布 退出 知识点 考点举要 一 基本概念 二 常用重要函数分布的求法 退出 范例选析 思考与练习 两个随机变量之和的分布 4两个随机变量的函数的分布 两个随机变量最大与最小取值的分布 退出 退出 返回 在离散量的分布列中 对X Y所有能使函数Z取同一值的全部取值概率进行归并 例如 固定一个变量的取值 然后寻找另一变量与其之和为同一值的取值概率 所得之和即是函数Z在同一可取之值上的取值概率 1 离散变量之和的分布列可用归并法求之 Z X Y 一 和的分布 试求的分布列 退出 返回 例1设随机变量 X Y 的联合分布列如下
2、 在联合分布列中对使Z 解Z所有可能的取值显然为0 1 2 8 可取同一值的X与Y的取值概率进行归并 即得Y的分布律如下 0 0 02 0 24 0 19 0 13 0 06 0 19 0 12 0 05 一 和的分布 退出 2 连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之 利用分布函数转化法可以证明 将联合概率密度中的任一变量改写成和变量与另一变量的差 然后关于另一变量在 上积分 即得和的概率密度 返回 或 Z X Y 一 和的分布 退出 证 Z的分布函数 Z的概率密度 返回 例2 1设随机变量 X Y 的联合概率密度为f x y 证明Z X Y的概率密度 或 一 和的分布 退出 证 Z的概率密度
3、 返回 例2 1设随机变量 X Y 的联合概率密度为f x y 证明Z X Y的概率密度 或 类似地 一 和的分布 退出 例2 2两标准正态量X与Y相互独立 求其和 的概率密度 解 返回 于是 依卷积公式即得 且相互独立 联合概率密度 即 一 和的分布 3 若干重要独立量的和的分布可加性 换言之 如果相互独立的随机变量Xi N i i2 i 1 2 k那么 其任意的线性组合量Z b1X1 b2X2 bkXk也是正态量 且有 退出 返回 Z X Y 一 和的分布 有限个相互独立的正态量的线性组合仍然 是正态量 3 若干重要独立量的和的分布可加性 换言之 如果相互独立的随机变量Xi B ni p
4、i 1 2 k那么 其和变量Z X1 X2 Xk也是二项分布量 且有 退出 返回 Z X Y 一 和的分布 是二项分布量 因此 服从B n p 的二项分布量是n个相互独立的0 1量之和 有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然 3 若干重要独立量的和的分布可加性 退出 返回 Z X Y 一 和的分布 有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量 换言之 如果相互独立的随机变量Xi P i i 1 2 k那么 其和变量Z X1 X2 Xk也是泊松量 且有 退出 例2 4两 0 1 上的均匀量X与Y相互独立 试求和变量 的概率密度 解 返回 于是 依卷积公式 即得 且相互独立 概率密度 1 Z X O z
5、 x 1 z x 1 x z 一 和的分布 例2 4两 0 1 上的均匀量X与Y相互独立 试求和变量 的概率密度 解 且相互独立 概率密度 于是 依卷积公式 即得 1 Z X O z x 1 1 x z x 1 z 退出 返回 一 和的分布 退出 二 最大与最小值分布 返回 M max X Y 与N min X Y 如果随机变量X和Y相互独立 分布函数依次为FX x 和FY y 则最大值M max X Y 与最小值N min X Y 的分布函数必依次为 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积 最小值的分布函数是边缘分布函数 关于1 的补数之积的补数 1 最值分布的分布函数 退出 二 最大与最小值
6、分布 返回 M max X Y 与N min X Y 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积 最小值的分布函数是边缘分布函数 关于1 的补数之积的补数 1 最值分布的分布函数 最值分布函数计算式的证明 退出 二 最大与最小值分布 返回 M max X Y 与N min X Y 1 最值分布的分布函数 最值分布函数计算式的证明 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积 最小值的分布函数是边缘分布函数 关于1 的补数之积的补数 退出 二 最大与最小值分布 返回 M max X Y 与N min X Y 即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取k值的所有概率的总和 2 离散变量的最值分布列可由
7、联合分布列直接归并 依据 退出 二 最大与最小值分布 返回 M max X Y 与N min X Y 即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取k值的所有概率的总和 2 离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并 依据 退出 返回 例2 1设随机变量 X Y 的分布律为 试求max X Y 与min X Y 的分布律 M取其中任一 M max X Y 的取值范围显然为0 5 解 值i的概率 即分布律 为 0 0 04 0 16 0 28 0 24 0 28 二 最大与最小值分布 退出 返回 例2 1设随机变量 X Y 的分布律为 试求max X Y 与min X Y 的分布律 N取其
8、中任一 N min X Y 的取值范围为0 3 同理 值i的概率 即分布律 为 0 30 0 25 0 17 0 28 二 最大与最小值分布 退出 二 最大与最小值分布 返回 M max X Y 与N min X Y 如果随机变量X和Y相互独立 分布函数依次为FX x 和FY y 则最大值M max X Y 与最小值N min X Y 的分布函数必依次为 即最大值的分布函数是边缘分布函数之积 最小值的分布函数是边缘分布函数 关于1 的补数之积的补数 3 连续变量的最值概率直接由分布函数计算 退出 返回 例2 2设随机变量Xi i 1 2 5 是相互独立的服从同一分布的连续随机变量 概率密度为
9、求M max X1 X2 X3 X4 X5 的分布函数以及概率P M 4 各Xi的分布函数都为 从而 M max X1 X2 X3 X4 X5 的分布函数为 解 二 最大与最小值分布 退出 返回 例2 3某型电子管寿命 小时 服从正态分布求任取4只 无一只的寿命小于180小时的概率 且各Xi i 1 2 3 4 相互独立 解 以Xi i 1 2 3 4 分别记4只电子管的寿命 则显然 令N min X1 X2 X3 X4 则应求的概率 二 最大与最小值分布 相互独立时 k个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积 多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数 关于1 的补数之积的补数
10、 即 退出 返回 4 多维独立随机变量最值分布的一般性结论 二 最大与最小值分布 若k个随机变量同分布 包括同参数 则有 其中 FX x 表各随机变量共同的分布函数 求的概率密度 三 范例选析 退出 例3 1设X与Y相互独立 概率密度分别为 解 依卷积公式 返回 1 Z X O 1 z x x 1 退出 返回 例3 2随机变量 X Y 的联合分布律如右表所示 试求概率P X 2 Y 2 以及max X Y 的分布律 解 两边缘分布列如联合 分布列加边后算出的数字所示 8 18 4 18 6 18 7 18 6 18 5 18 条件概率 M max X Y 的分布律 1 6 三 范例选析 退出
11、例3 3设随机变量 试求随机变量 解 各Xi的分布函数 返回 相 概率密度皆为 互独立 服从同一分布 的概率密度 三 范例选析 课外书面练习 退出 返回 概率统计练习册 P19 1 1 2 3 4 5 6 二维离散与连续随机变量基础知识 P20 2 求二维离散变量的联合分布律 3 求联合概率密度的未知参数与计算概率 参考答案 退出 返回 6 3 4 2 以及 1 1 5 参考答案 退出 返回 2 3 1 2 3 4 课外书面练习 概率统计练习册 P21 P22P21 4 二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识 5 求联合概率密度的未知参数与边缘概率密度 P22 6 求二维随机变量的取值概率与边
12、缘概率密度 7 求二维均匀量的联合概率密度及其函数值 3 参考答案 退出 返回 2 2 均匀分布 面积 1 4 1 二维正态分布 5 1 参考答案 退出 返回 2 6 7 1 课外书面练习 概率统计练习册 P23 P24P23 8 条件分布 一般随机变量与正态量相互独立的常识 P24 9 求联合分布律 判断离散量的相互独立性 10 求未知分布参数与两个边缘概率密度 判断连续量的相互独立性 3 参考答案 退出 返回 4 2 8 1 6 相互独立 7 5 相互独立 X与Y相互独立 参考答案 退出 返回 10 9联合分布列与边缘分布列为 因为至少有 所以X与Y不相互独立 课外书面练习 概率统计练习册
13、 P25 P26P25 11 应记忆的和的分布密度与最值分布函数的确定公式 注意 2 中表记概率密度的字母都应由大写F改为小写f12 确定离散量的未知参数 求条件概率与和的分布律 P26 13 求连续量的和的概率密度 3 参考答案 退出 返回 2 11 1 参考答案 退出 返回 13Z X Y的概率密度 从而概率 12 2 边缘分布律 3 W X Y的分布律 1 您真的要退出吗 Yes No 多媒体研制组 二0一0年四月 概率论多媒体课件 Exit 特点 1 积分是无穷限的广义积分 函数简介 定义 2 可以证明 r 0时 积分收敛 即 收敛 收敛 函数的若干重要性质 函数简介 证明 证 函数简介 返回
