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1、 2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) 1,1(B) (1,1)输入xIf x50 Theny=0.5 * xElscy=25+0.6*(x-50)End
2、If输出y.(C) (D) 2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 613. 设a, b为向量, 则“”是“a/b”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为(A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE
3、和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B) (C) (D) 6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若, 则(B) 若, 则(C) 若, 则(D) 若, 则 7. 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8. 设函数 , 则当x0时, 表达式的展开式中常数项为(A) 20(B) 20(C) 15(D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内
4、接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位:m)的取值范围是(A) 15,20(B) 12,25(C) 10,30(D) 20,3010. 设x表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有(A) x x(B) 2x 2x(C) xyxy(D) xyxy二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线的离心率为, 则m等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x, y)位于曲线与y2所围成的封闭区域, 则2xy的最小值为 . 14. 观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为 . 15. (考生请注意:请
5、在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为 . B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD2DA2, 则PE . C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量, 设函数. () 求f (x)的最小正周期；() 求f (x
6、) 在上的最大值和最小值. 17. (本小题满分12分) 设是公比为q的等比数列. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 19. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2
7、号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. () 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; () X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. 20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点. 21. (本小题满分14分)已知函数. () 若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值
8、; () 设x0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. () 设ab, 比较与的大小, 并说明理由. 数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。 （1）D (2)C (3)C (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)C (10)D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11） 9 （12） （13） -4 （14）（15）A.2 B. C. 三、解答题(16)（本小题满分12分）解： . （）的最小正周期为，即函数的最小正周期为。（II），。由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值1.当，即时，当，即时，因此，。（17）（
9、本小题满分12分）解：（）设的前n项和为， 得，（）假设是等比数列，则对任意的， （18）（本小题满分12分）解： （I）解法一 由题高易知两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图： 解法二： (II) 由（I）知，（19）（本小题满分12分）解：（I）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”， B表示事件“观众乙选中3与歌手”，则事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 (II)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 的分布列为X0123P的数学期望安博教育网址：http:/ 上海安博京翰教育研究院（20）（本小题满分13分）解：（I）如图，设动圆圆心，由题意，（II）由题意，设直线l的方程为即（21）（本小题满分14分）解： （III）- 11 -2013高考真题
