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1、2004年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（文史类）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则 （AB）等于（ ）A1，2，4B4C3，5D2的值是（ ）A2 B2+ C4 D3命题p：若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充要条件； 命题q：函数y=的定义域是（，13，+.则（ ）A“p或q”为假 B“p且q”为真 Cp真q假 Dp假q真4已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若AB
2、F2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D5设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）A1B1C2D6已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：若m，n，则mn；若m，m，则；若=n，mn，则m且m；若m，m，则.其中真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D37已知函数y=log2x的反函数是y=f1(x)，则函数y= f1(1x)的图象是（ ）8已知a、b是非零向量且满足(a2b) a，(b2a) b，则a与b的夹角是（ ）A B C D9已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A28B38C1或38D1或2810如图，A、B、C是
3、表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）AarcsinBarccosCarcsinDarccos11定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3，4时，f(x)= x2，则（ ）Af(sin)f(cos)Cf(sin1)f(cos)12如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上任意选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km、那么修建这两条公路的总
4、费用最低是（ ）A(+1)a万元B(22) a万元C2a万元D(1) a万元第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.13直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于 .14设函数则实数a的取值范围是 .15一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 .16图1，将边长为1的正六边
5、形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.图1三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设函数f(x)=ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，xR.（）若f(x)=1且x，求x；（）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.18（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规
6、定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19（本小题满分12分）在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求点B到平面SCM的距离.20（本小题满分12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下
7、，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21（本小题满分12分）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q.（）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.22（本小题满分14分
8、） 已知f(x)=在区间1，1上是增函数.（）求实数a的值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学答案（文史类）（福建卷）一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B二、134 14.（，1） 15.63 16.2/3 三、17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.
9、解：（）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1，得sin(2x+)=.x，2x+，2x+=，即x=.（）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(xm)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由（）得 f(x)=2sin2(x+)+1. |m|，m=，n=1.18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=， P(B)=.答：甲、乙两人考试合格的概率分别为（）解法一、因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合
10、格的概率为P()=P()P()=（1)(1)=.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1P()=1=.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一：（）取AC中点D，连结DS、DB.SA=SC，BA=BC，ACSD且ACDB，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACS
11、B.（）SDAC，平面SAC平面ABC，SD平面ABC.过D作DECM于E，连结SE，则SECM，SED为二面角SCMA的平面角.由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，SD=2.在RtSDE中，tanSED=2，二面角SCMA的大小为arctan2.（）在RtSDE中，SE=，CM是边长为4 正ABC的中线，. SSCM=CMSE=，设点B到平面SCM的距离为h，由VB-SCM=VS-CMB，SD平面ABC， 得SSCMh=SCMBSD，h= 即点B到平面SCM的距离为解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，BA=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面
12、SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A（2，0，0），C（2，0，0），S（0，0，2），B（0，2，0）.=（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0，ACBS.（）由（）得M（1，0），=（2，0，2）. 设n=（x，y，z）为平面SCM的一个法向量，则 n=(1，1)， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=二面角SCMA的大小为arccos（）由（）（）得=（2，2，0），n=（1，1）为平面SCM的一个法向量，点B到平面SCM的距离d=20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（）依题设，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因为函数y=x(x+1) 10在（0，+）上为增函数，当1n3时，n(n+1) 1012100.仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯
