数学必修四知识点总结65509

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1、三角函数总复习 任意角的概念 角的度量方法 角度制与弧度制 弧长公式与扇形面积公式 任意角的三角函数 同角公式 诱导公式 两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数 三角函数式的恒等变形 化简 求值 证明 三角函数的图形和性质 正弦型函数的图象 已知三角函数值 求角 知识网络结构 1 角的概念的推广 1 正角 负角和零角 用旋转的观点定义角 并规定了旋转的正方向 就出现了正角 负角和零角 这样角的大小就不再限于00到3600的范围 3 终边相同的角 具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角 所有与角终边相同的角 包含角在内 的集合为 4 角在 到 范围内 指 2 象限角和轴线角 象限角的前提是角的顶

2、点与直角坐标系中的坐标原点重合 始边与轴的非负半轴重合 这样当角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限的角 若角的终边与坐标轴重合 这个角不属于任一象限 这时也称该角为轴线角 一 基本概念 一 任意角的三角函数 1 角的概念的推广 正角 负角 o x y 的终边 的终边 零角 二 象限角 注 如果角的终边在坐标轴上 则该角不是象限角 三 所有与角终边相同的角 连同角在内 构成集合 角度制 弧度制 例1 求在到 范围内 与下列各角终边相同的角 原点 x轴的非负半轴 角的终边 除端点外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 1 终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等 相等的角终边一定

3、相同 2 象限角 象间角与区间角的区别 3 角的终边落在 射线上 直线上 及 互相垂直的两条直线上 的一般表示式 三 终边相同的角 1 与 角终边相同的角的集合 1 几类特殊角的表示方法 2k k Z 2 象限角 象限界角 轴线角 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 一 角的基本概念 轴线角 x轴的非负半轴 k 360 2k k Z x轴的非正半轴 k 360 180 2k k Z x轴 k 180 k k Z 典型例题 各个象限的半角范围可以用下图记忆 图中的 分别指第一 二 三 四象限角的半角范围 例1 若 是第三象限的角 问 2是哪个象限的角 2 是哪个象限的角 高考

4、试题精选及分析 C 点评 本题先由 所在象限确定 2所在象限 再 2的余弦符号确定结论 例1求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度 解 分针所转过的角度 评析 在解选择题或填空题时 如求角所在象限 也可以不讨论k的几种情况 如图所示利用图形来判断 四 什么是1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角 3 角度与弧度的换算 只要记住 就可以方便地进行换算 应熟记一些特殊角的度数和弧度数 在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制 4 弧长公式和扇形面积公式 度弧度0 2 角度与弧度的互化 特殊角的角度数与弧度数的对应表 略解 例3 已知角 和 满足求角 的范围 解 例4 已知扇形的周长为定值10

5、0 问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大 最大值是多少 扇形面积最大值为625 例7 已知一扇形中心角是 所在圆的半径是R 若 60 R 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 若扇形的周长是一定值C C 0 当 为多少弧度时 该扇形的面积有最大值 并求出这一最大值 指导 扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式 但其中用弧度制给出的形式不仅易记 而且好用 在使用时 先要将问题中涉及到的角度换算为弧度 解 1 设弧长为l 弓形面积为S弓 正弦线 余弦线 正切线 2 当角 的终边在x轴上时 正弦线 正切线变成一个点 当角 的终边在y轴上时 余弦线变成一个点 正切线不存

6、在 2 正弦线 余弦线 正切线 有向线段MP 有向线段OM 有向线段AT 注意 1 圆心在原点 半径为单位长的圆叫单位圆 在平面直角坐标系中引进正弦线 余弦线和正切线 三角函数 三角函数线 正弦函数余弦函数正切函数 正弦线MP 正弦 余弦函数的图象 P M A 1 0 T sin MP cos OM tan AT 注意 三角函数线是有向线段 余弦线OM 正切线AT P O M P O M P O M P O M MP为角 的正弦线 OM为角 的余弦线 10 函数y lgsinx 的定义域是 A A x 2k x 2k k Z B x 2k x 2k k Z C x 2k x 2k k Z D

7、x 2k x 2k k Z 专题知识 三角函数线的应用 一 三角式的证明 2 已知 角为锐角 试证 1 已知 角为锐角 试证 1 4 在半径为r的圆中 扇形的周长等于半圆的弧长 那么扇形圆心角是多少 扇形的的面积是多少 答 圆心角为 2 面积是 5 用单位圆证明sian tan 00 900 A T P M 提示 利用三角函数线和三角形面积与扇形面积大小关系证明 例5已知角的终边经过点 例6若 为第一象限角 利用三角函数线证明 若 为其它象限角呢 例7求函数的定义域 4 三角函数的符号 一 任意角的三角函数定义 x y o P x y r 二 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 商关系 平方关

8、系 三角函数值的符号 第一象限全为正 二正三切四余弦 平方关系 倒数关系 商式关系 5 同角三角函数基本关系 神奇的六边形 1 上述几个基本关系中 必须注意 它们都是同一个角的三角函数 因此sin2 sin2 1不一定成立 这几个恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立 2 同角三角函数的基本关系常用于 已知角的某个三角函数值 求角的其他三角函数值 化简三角函数式 证明三角恒等式 同角三角函数基本关系注意事项 三 典型例题分析 解题回顾 已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型 解答此问题过程中 通过基本关系式中正弦 余弦 正切之间的联系 必需开方且只需开方一次 有的题型根

9、据已知条件可以尽量回避开方 使得问题轻松获解 根据 角所在象限 确定正负号的取舍 当给出的 的象限指定唯一 则此时一般有一解 当角 的象限没有定 可根据已知的函数值的符号确定 的象限 此时一般有二解 除轴上角外 当已知的三角函数值符号不确定 此时一般有四解 除轴上角 外 例1 已知是第三象限角 且 0求 四 主要题型 解 应用 三角函数值的符号 同角三角函数的关系 例2 已知sin m m 1 求tan 方法指导 此类例题的结果可分为以下三种情况 1 已知一个角的某三角函数值 又知角所在象限 有一解 2 已知一个角的某三角函数值 且不知角所在象限 有两解 3 已知角 的三角函数值是用字母表示时

10、 要分象限讨论 分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号 一般有四解 指导 容易出错的地方是得到x2 3后 不考虑P点所在的象限 分x取值的正负两种情况去讨论 一般地 在解此类问题时 可以优先注意角 所在的象限 对最终结果作一个合理性的预测 例4 设 为第四象限角 其终边上的一个点是P x 且cos 求sin 和tan 设00 900 对于任意一个00到3600的角 当 00 900 1800 当 900 1800 1800 当 1800 2700 3600 当 2700 3600 如何求非锐角的三角函数值呢 角1800 1800 3600 的三角函数值与 的三角函数值

11、有何关系呢 6 诱导公式 公式5 奇变偶不变 符号看象限 注意 把看作是锐角 公式五 公式六 偶同奇余 象限定号 K是奇数 K是偶数 K是奇数 K是偶数 诱导公式总结 口诀 奇变偶不变 符号看象限 意义 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 一般按下面步骤进行 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 锐角三角函数 到的角的三角函数 特殊角的三角函数值 你记住了吗 三 典型例题分析 解题回顾 视sin cos 等为 一次式 sin2 sin cos 等为 二次式 象此题中的 分式齐次式 齐次二项式 是典型的条件求值 一般化为含tan 的式子 要注重数字 1 的代换 表面上看增加了运算

12、 但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变 给解决问题带来方面 故解题时 应给于足够的认识 1 若 则 分析 从已知可求出 同除以得 例1 原式可化为 04湖南 例5 若tanA 求2sin2A sinA cosA 3cos2A的值 指导 这是一个已知角A的三角函数值 求它的三角函数式的值 观察其构成特征 可考虑利用 1 的恒等变形 把欲求值的三角函数式用条件正切来表示 即先变形 后代入计算 解 例5 若tanA 求2sin2A sinA cosA 3cos2A的值 分析 属 给值求值 型 本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些 齐 例题与练习 例4化简 练习1求sin 2n

13、 2 3 cos n 4 3 的值 n Z 2化简cos 4n 1 4 x cos 4n 1 4 x 当n为奇数时 原式 2cos 4 x 当n为偶数时 原式 2cos 4 x 当n为偶数时 当n为奇数时 补充 已知 1 试判断的符号 2 化简 作业 解 由 的终边在第二 三象限或y轴和x轴的负半轴上 又 角的终边在第二 四象限 从而的终边在第二象限 1 易知 2 原式 解题回顾 证等式常用方法 1 左边证明到右边或右边证明到左边 从繁到简为原则 2 两边向中间证 3 分析法 4 用综合法 证等式的思路要灵活 根据等式两边式子结构特点 寻求思路 三 典型例题分析 三 典型例题分析 解题回顾 根

14、据目标式子无 的特点 采用消元思想 三角平方关系式消元是一重要方法 四 sin cos sin cos sin cos 三个式子中 已知其中一个式子的值 可以求出其余两个式子的值 例2 已知 三 典型例题分析 求的值 解题回顾 sin 与cos 通过公式sin2 cos2 1形成对立与统一的整体 它们的和sin cos 差sin cos 积sin cos 商sin cos 即tan 密切相联 如 sin cos 2 1 2sin cos 例6 若 则 指导 条件是正余弦的乘积 结论要求的是差 要想联系起来只有平方 需注意的是 即 小结 解决 给值求角 型问题 关键是利用给定的三角函数值或者首先

15、求出该角的某一个三角函数值 在某个范围内求出具体的角 练习 例3已知 是三角形的内角 且sin cos 求tan 的值 解答下列问题 1 若在第四象限 判断的符号 2 若 试指出所在的象限 并用图形表示出的取值范围 思考题 三 三角函数图像和性质 R R 1 1 1 1 R 奇 奇 偶 无最值 无 2 2 定义域 值域 奇偶性 单调性 周期性 对称性 R R R 1 1 1 1 奇函数 奇函数 偶函数 增区间 增区间 增区间 减区间 减区间 对称中心 对称中心 对称中心 对称轴 对称轴 3 正切函数的图象与性质 y tanx 图象 x y o 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 单调性

16、正切函数的性质 6 对称性 对称中心 7 渐进线 四 三角函数的图象和性质 图象 y sinx y cosx x o y 1 1 x y 1 1 性质 定义域 R R 值域 1 1 1 1 周期性 T 2 T 2 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 o 1 正弦 余弦函数的图象与性质 五点作图法 p 对称点 kp 0 对称轴 x kp k Z k Z 练习 y 3sin 2x 的图像的一条对称轴方程是 A x 0 B x C x D x 3 B 解 令X 2x 则y 3sinX 由此可知y 3sinX的图像的对称轴方程为 k 2 k Z 2x k 2 k Z 解得x k 2 k Z y 3sin 2x 的图像的对称轴方程为 x k 2 k Z 令k 0得x 1 作y Asin x 图象的方法 2 y Asin x 关于A 的三种变换 法一 五点法 列表取值方法 是先对 x 取0 2 3 2 2 法二 图象变换法 1 振幅变换 对A 2 周期变换 对 3 相位变换 对 二 y Asin x 的相关问题 3 求y Asin x K的解析式的方法 4 y Asin x A 0 0 的图象的对称中