《高中数学 选修2-2知识讲解 数系的扩充与复数的概念(理）1215》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 选修2-2知识讲解 数系的扩充与复数的概念(理）1215（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 数系的扩充和复数的概念 【学习目标】1理解复数的有关概念：虚数单位i、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。2理解复数相等的充要条件。3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。【要点梳理】要点一：复数的基本概念1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。要点诠释：是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2. 复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。要点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3
2、.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi为实数，若b0,则a+bi为虚数，若a=0且b0，则a+bi为纯虚数。分类如下：（）用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）要点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果，那么特别地：.要点诠释： 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bic+di（a，b，c，dR） 一般地，两个复数只能说相
3、等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小. 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对
4、应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义。3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义。4.复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释：两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并
5、且他们的模相等。【典型例题】类型一、复数的基本概念例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？【解析】 的实部是2，虚部是3. 的实部是3，虚部是.的实部是0，虚部是. 的实部是，虚部是.纯虚数为。【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键。举一反三：【变式1】 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？【答案】 实部是3.14，虚部是2.注意：易错的结果为：实部是2，虚部是3.14 。【变式2】以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是_【答案】的虚部为2，的实部为-2，所以新复数为22i 。例2 已知复数，试求实数a分别取什么值时，z为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数【思路
6、点拨】根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.【解析】（1）当z为实数时，则， ，故a=6，当a=6时，z为实数 （2）当z为虚数时，则有，a1且a6， 当a（，1）（1，1）（1，6）（6，+）时，z为虚数（3）当z为纯虚数时，则有，不存在实数a使z为纯虚数 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键举一反三：【变式1】 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） 【答案】由复数为纯虚数，得，解得，故选A【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1
7、】【变式2】 当实数取何值时，复数，表示（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数【答案】（1），则，即或.（2）表示虚数，则，即且.（3）表示纯虚数，则，所以.【变式3】设复数，mR，当m为何值时，（1）z是实数；（2）z是纯虚数【答案】（1）要使z是实数，则需m=1或m=2，所以当m=1或m=2时，z是实数 （2）要使z是纯虚数， 则需，所以m=3时，z是纯虚数类型二、复数相等例3.已知，其中，求与.【思路点拨】因xR，y是纯虚数，所以可设y=bi（bR且b0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.【解析】根据复数相等的定义，得方程组，所以，【总结升华】两复数a+bi与c
8、+di（a，b，c，dR）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.即两个方程组，通过解方程组求出x与y举一反三：【变式1】已知x2y2+xyi =7+12i，求x+yi的值（x，yR） 【解析】 由题意知，解得 或 所以x+yi的值为4+3i或43i【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】，复数与复数相等，求x,y 【答案】，所以，解得.类型三、复数的几何意义例4. 当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i (1) 为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。【思路点拨】根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情
9、况.【解析】（1）若z为纯虚数，则解得m=3（2）若z为实数，则解得m=-1或m=-2（3）若z的对应点在第二象限，则解得-1m1-或1+m3.即（1）m=3时，z为纯虚数；（2）m=-1或m=-2时，z为实数；（3）-1m1-或1+m3时，z的对应点在第二象限内。【总结升华】复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】（2015 安徽卷）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】 B其对应点坐标(-1，1)，第二象限，故选B.【变式2】 已知复数(2k23k2)+(k2k
10、)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围.【答案】复数对应的点在第二象限，即解得：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式3】已知复数（mR）在复平面上对应的点为Z，求实数m取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z在实轴上，即复数z为实数，由当时，点Z在实轴上.（2）点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0，故当时，点Z在虚轴上.3）点Z在第一象限，即复数z的实部虚部均大于0由 ，解得m1或m3当m1或m3时，点Z在第一象限. 例5. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求
11、向量对应的复数； （2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数 【解析】（1）设所求向量对应的复数z1=x1+y1i（x1，y1R），则点B的坐标为（x1，y1）由题意可知点A的坐标为（2，1），根据对称性可知x1=2，y1=1，故z1=2i （2）设所求点C对应的复数为z2=x2+y2i（x2，y2R），则点C的坐标为（x2，y2）由对称性可知x2=2，y2=1，故z2=2i【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决 举一反三：【变式】 在复平面内，复数z1=1+i、z2=2+3i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，若点P在第四象限内，则实数的取值范围是_【答案】由题意：，解得：例6. 已知，求。【解析】【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得。举一反三：【变式1】(2015 江苏)设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为_.【答案】故答案为：【变式2】 已知z|z|=1+i，求复数z 【答案】 方法一：设z=x+yi（x，yR）， 由题意，得， 即 根据复数相等的定义，得， 解得，z=i方法二：由已知可得z=(|z|1)+i， 等式两边取模，得 两边平方，得|z|2=|z|22|z|+1+1|z|=1 把|z|=1代入原方程，可得z=i
