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1、第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题一、解答题1（2017年全国1卷理）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从
2、而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）2已知椭圆过点，且离心率（12分）（）求椭圆的标准方程；（）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标。【解析】椭圆的标准方程为；（）由题知直线的斜率存在，设的方程为，点，则得，即， ， ，由题可得直线方程为，又， ，直线方程为，令，整理得 ，即直线过点，3已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且（I）求椭
3、圆的方程；（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由【解析】（I）由题意得： ，解得： ，椭圆的方程为（II）依题意，设直线方程为： ，则，且联立，得，又直线的方程为，即而，直线的方程为，故直线地定点4在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于两点 ， 为 的中点，且 的斜率为 . （1）求椭圆的标准方程；（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 (1) 设 ,则 ，两式相减得，
4、 ，又 ， 为的中点，且 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 .(2) 设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 . ，根据题意，假设轴上存在定点 ，使得 为定值，则有 ，要使上式为定值，即与 无关，则应 ，即 ，故当点的坐标为 时， 为定值.5已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.【解析】（）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，整理得
5、： ，方程的判别式，故时均满足题目要求记交点坐标为，则为方程的两根，故由韦达定理可知， 将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，整理得，同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，联立两条切线的方程，解得点坐标为，故点P的轨迹方程为， （）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，为定值6已知点在椭圆： （）上，设， ， 分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为.（）求椭圆的方程；（）设点， （）为椭圆上两点，且满足，求证： 的面积为定值，并求出该定值.【解析】（）由题意，得直线的方程为，点，点到直线的距离 ，整理，
6、得.又点在椭圆上， .联立解得， ，椭圆的方程为.（）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 . ， ， ， .又，则由题意，得 .整理，得，则 ，整理，得（满足）. .又点到直线的距离. ，为定值.7已知椭圆： 的离心率为，且过点，动直线： 交椭圆于不同的两点， ，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【解析】（1）由题意可知，所以，即，又点在椭圆上，所以有，由联立，解得， ，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以， ，又由题知，即，整理为.将代入上式，得.化简整理得，从而得到.8已知椭圆与椭
7、圆有相同的离心率，且经过点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.【解析】（I）椭圆；（II）由直线平分和，而由直线与，设，则，由恒成立直线的斜率为定值9已知椭圆右顶点，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由【解析】：依题意得解得 ，则椭圆的方程为.设，则，令得，则,，令得，则,10平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂
8、线，垂足分别为，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；当直线的斜率存在时，设，直线为，由，所以， ，所以 ， 联立解得，代入上式可得，综上，直线与过定点.11已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程：(2)设， 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.【解析】(1) ，即， 又 ，既 故椭圆的方程为.(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为 由可得， 设点，则， ，由于直线
9、的方程为所以令，可得带入到上式既可解得， 所以直线与轴相交于定点.12如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点， ，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.【解析】（1）由已知，得 解得 所以椭圆的标准方程为 （2）设点 ，则中点为 由已知，求得直线的方程为，从而 又点在椭圆上， 由，解得（舍），从而 所以点的坐标为 （3）设， ， 三点共线，整理，得 三点共线，整理，得 点在椭圆上， 从而 所以为定值，定值为13如图，
10、在平面直角坐标系中，抛物线（）的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点设到准线的距离（）（1）若，求抛物线的标准方程；（2）若，求证：直线的斜率为定值【解析】（1）由条件知， ，代入抛物线方程得 所以抛物线的方程为 （2）设，直线的方程为将直线的方程代入，消得，所以， 因为，所以，又，所以，所以， 所以，所以直线的斜率为定值14在直角坐标系中， 分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若(1)求的值；(2)过点作直线交椭圆于两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点,连接，求证：直线经过一个定点。【解析】（1）由题意得： 解得： （2）设，直线的方程为则将代入椭圆方程得 直线的方程令得 所以直线
11、经过定点 （注：由对称性可知，若过定点，则必在轴上）15已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为（）求圆心的轨迹方程；（）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.【解析】（）设动圆圆心坐标为，由题意得：动圆半径圆心到轴的距离为，依题意有，化简得，即动圆圆心的轨迹方程为： （）当直线的斜率不存在，则直线的方程为： 得所以，故为定值.当直线的斜率存在，则设直线的方程为： ，得，所以，即，又点在抛物线上，所以，于是综合，为定值，且定值为16已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知两点的坐标分别为， ，点是直线上的一个动点
12、，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.【解析】（）依题意有， ，且，所以点的轨迹方程为： （）依题意设直线的方程为： ，代入椭圆方程得： 且： ， 直线： ，直线： 由题知， 的交点的横坐标为4，得：，即即： ，整理得： 将代入得： 化简可得： 当变化时，上式恒成立，故可得： 所以直线恒过一定点.17已知抛物线的准线为，焦点为， 为坐标原点.（1）求过点，且与相切的圆的方程；（2）过的直线交抛物线于两点， 关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【解析】：解法一：（1）抛物线的准线的方程为： ，焦点坐标为，设所求圆的圆心，半径为， 圆过， ，
13、圆与直线相切， .由，得.过，且与直线相切的圆的方程为.（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为， ， ， ，联立，消去得.， .直线的方程为，令，得 .直线过定点 ,解法二：（1）同解法一.（2）直线过定点.证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为， ， ， ，联立，消去得， . ，.，即， 三点共线， 直线过定点.解法三：（1）同解法一.（2）设直线的方程： ， ， ，则.由得， .， .， 直线的方程为. . 直线过定点.18已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.（）求的方程；（）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.【解析】（）设点，由已知得，化简得点的轨迹的方程: . （）设点的坐标分别为.由，所以，所以 因为点在曲线上，所以 ，化简得 ，同理，由可得： ， 代入曲线的方程得 ，由得是方程的两个实数根(0)， 所以.19已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，求的值；试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题设知， ， ，又，解得.故所求椭圆的方程是.（2），则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两
