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1、-项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵的特征值与特值向量.(1) 求矩阵A的特征值. 输入 A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigenvaluesA则输出A的特征值-1,1,1(2) 求矩阵A的特征向量. 输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigenvectorsA则输出 -3,1,0,1,0,1,0
2、,0,0即A的特征向量为(3) 利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值与特征向量. 输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigensystemA则输出矩阵A的特征值及其对应的特征向量.例1.2 求矩阵的特征值与特征向量. 输入A=Tablei+j,i,3,j,3MatrixFormA (1) 计算矩阵A的全部（准确解）特征值, 输入EigenvaluesA则输出 0, ,(2) 计算矩阵A的全部（数值解）特征值, 输入EigenvaluesNA则输出 12.4807, -0.480741, -1.3483(3) 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量,
3、 输入EigenvectorsA/MatrixForm则输出 (4) 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量, 输入EigenvectorsNA/MatrixForm则输出 (5) 同时计算矩阵A的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputFormEigensystemA则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A的零空间, 输入NullSpaceA则输出 1,-2,1(7) 调入程序包LinearAlgebraOrthogonalization后,还可以做以下的运算:GramSchmidt :用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化;Normalize :将向量组单位化;Projec
4、tionvect1,vect2:求从向量组vect1到vect2的正交映射.输入LinearAlgebraOrthogonalizationGramSchmidtEigenvectorsNA/MatrixForm则输出例1.3 求方阵的特征值和特征向量.输入ClearM;M=1,2,3,2,1,33,3,6;EigenvaluesMEigenvectorsMEigensystemM则分别输出-1,0,9-1,1,0,-1,-1,11,1,2-1,0,9,-1,1,0,-1,-1,11,1,2例1.4 (教材 例1.2) 求矩阵的特征值和特征向量的近似值.输入A=1/3,1/3,-1/2,1/5
5、,1,-1/3,6,1,-2;EigensystemA则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用近似形式输入矩阵,则输出结果也采用近似形式来表达. 输入A=1/3,1/3,-1/2,1/5,1,-1/3,6.0,1,-2;EigensystemA则输出-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311,0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i,0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i,-0.087
6、2248,-0.866789,-0.490987从中可以看到有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实特征值的特征向量是实的.例1.5 (教材 例1.3) 已知2是方阵的特征值,求.输入ClearA,q;A=2-3,0,0,-1,2-t,-3,-1,-2,2-3;q=DetASolveq=0,t则输出t8即当时,2是方阵的特征值.例1.6 (教材 例1.4) 已知是方阵的一个特征向量,求参数及特征向量所属的特征值. 设所求特征值为,输入ClearA,B,v,a,b,t;A=t-2,1,-2,-5,t-a,-3,1,-b,t+2;v=1,1,-1;B=A.v;Solve
7、B1=0,B2=0,B3=0,a,b,t则输出a-3, b0, t-1即时,向量是方阵的属于特征值-1和特征向量.矩阵的相似变换例1.7 (教材 例1.5) 设矩阵,求一可逆矩阵,使为对角矩阵.方法1 输入ClearA,P;A=4,1,1,2,2,2,2,2,2;EigenvaluesAP=EigenvectorsA/Transpose则输出0,2,60,-1,1,-1,1,1,1,1,1即矩阵A的特征值为0,2,6.特征向量为,与,矩阵.可验证为对角阵, 事实上,输入 InverseP.A.P则输出0,0,0,0,2,0,0,0,6因此,矩阵在相似变换矩阵的作用下,可化作对角阵.方法2 直接
8、使用JordanDecomposition命令, 输入jor=JordanDecompositionA则输出0,-1,1,-1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,2,0,0,0,6可取出第一个矩阵和第二个矩阵,事实上,输入jor1jor2则输出0,-1,1,-1,1,1,1,1,10,0,0,0,2,0,0,0,6输出结果与方法1的得到的结果完全相同.例1.8 方阵是否与对角阵相似?输入ClearA;A=1,0,2,1;EigensystemA输出为1,1,0,10,0于是,1是二重特征值,但是只有向量0,1是特征向量,因此,矩阵A不与对角阵相似.例1.9 (教材 例1.6) 已知方阵与相似
9、, 求.注意矩阵是对角矩阵,特征值是.又矩阵是分块下三角矩阵,-2是矩阵的特征值.矩阵与相似,则,且-1,2也是矩阵的特征值.输入Clearc,v;v=4,0,0,-2,2-x,-2,-3,-1,1;SolveDetv=0,x则输出x0所以,在题设条件,.例1.10 对实对称矩阵,求一个正交阵,使为对角阵.输入LinearAlgebraOrthogonalizationClearA,PA=0,1,1,0 ,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,2;EigenvaluesAEigenvectorsA输出的特征值与特征向量为-1,-1,2,2-1,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,1
10、,1,1,1,0再输入P=GramSchmidtEigenvectorsA/Transpose输出为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵为了验证是正交阵，以及是对角阵，输入TransposeP.PInverseP.A.P/SimplifyTransposeP.A.P/simplify则输出1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2第一个结果说明,因此是正交阵;第二个与第三个结果说明例1.11 求一个正交变换,化二次型为标准型.二次型的
11、矩阵为这恰好是例1.10的矩阵, 因此，用例1.10中的正交矩阵,作正交变换,即将化作标准型.输入f=Tablexj,j,4.A.Tablexj,j,4/Simplify则输出 2(x2x3+x1(x2+x3)+x42)这是原来的二次型.把上式中的x1,x2,x3,x4用y1,y2,y3,y4表示,输入代换命令f/.Tablexj(P.Tableyj,j,4)j,j,4/Simplify则输出-y12-y22 +2(y32 +y42)这就是二次型的标准型.例1.12 (教材 例1.7) 已知二次型(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定.输入 A=1,1,-2,1,-2
12、,1,-2,1,1EigenvaluesA则输出矩阵A的特征值为-3,0,3所以二次型的标准形为;正惯性指数为1;该二次型不是正定的.例1.13 (教材 例1.8) 求正交变换将二次型化为标准形.输入A=1,1,0,-1,1,1,1,0,0,1,1,-1,-1,0,-1,1MatrixFormAX=x1,x2,x3,x4;ExpandX.A.XLinearAlgebraOrthogonalization.mP=GramSchmidtEigenvectorsAP.A.InverseP/MatrixForm则输出所求的正交变换矩阵P与二次型矩阵A标准形. 从结果知, 所求二次型的标准型为实验2 层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中新型的数学方法.运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步
