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1、 2011 10 主讲人 张燕 机械类专业必修课 机械动力工程学院 教学内容 1 课程准备 7 系统的性能指标与校正 2 绪论 4 系统的时间响应分析 3 系统的数学模型 5 系统的频率特性分析 6 系统的稳定性分析 教学内容 第一讲控制系统的频率特性 一 频率特性引入的目的及重要性 系统的频率特性 频率特性概述 1 引入目的 将传递函数从复域引到频域来分析系统特性 系统的频率特性 频率特性概述 2 重要性 建立起系统的时间响应与频谱 单位脉冲响应与频率特性之间的直接关系 沟通时域与频域中对于系统的分析与研究 任何信号可分解为叠加的谐波信号 可通过系统频率特性分析 研究系统的稳定性与响应的快速
2、性与准确性 对于复杂的系统或环节 可通过实验方法求频率特性 进而求出传递函数 设系统结构如图 由劳斯判据知系统稳定 给系统输入正弦信号 保持幅值不变 增大频率 Ar 1 0 5 1 2 2 5 4 曲线如下 给稳定的系统输入一个正弦信号 其稳态输出是与输入 同频率的正弦信号 幅值随 而变 相角也是 的函数 系统的频率特性 频率特性概述 系统的频率特性 频率特性概述 二 频率响应与频率特性 1 频率响应 定义 线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应 根据微分方程解的理论 若对系统输入一谐波信号xi t Xisin t 系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号 但幅值和相位发生了变化 系统的
3、频率特性 频率特性概述 系统的频率特性 频率特性概述 实例分析1 系统传递函数 系统输入函数 则 系统的频率特性 频率特性概述 则 幅值为 相位为 由传递函数可知 1 T是G s 的极点 也是系统微分方程的特征根si 由于si为负值 所以系统是稳定 随着时间的推移 当t 时 瞬态分量迅速衰减至零 系统的输出x0 t 即为稳态响应 所以 系统的稳态响应为 系统的频率特性 频率特性概述 显然 频率响应只是时间响应的一个特例 不过 当谐波的频率 不同时 幅值X0 与相位 也不同 这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息 从这个意义上说 研究频率响应或者研究下面将要介绍的频率特性就是在频域中研究系统的特
4、性 系统的频率特性 频率特性概述 三 频率特性与传递函数的关系 若系统的微分方程为 则系统的传递函数 输入信号为谐波信号 系统输出为 系统的频率特性 频率特性概述 若系统无重极点 则系统的输出 式中 si为特征根 Ai B B B与B 共轭 为待定系数 对于稳定系统而言 系统的特征根si均具有负实部 则上式中的瞬态分量 t 将衰减为零 系统x0 t 即为稳态响应 故系统的稳态响应为 B值由留数定理 同理 系统的频率特性 频率特性概述 由B B 求得系统的稳态响应为 故频率特性为 系统的频率特性 频率特性概述 将G j 与G s 比较不难看出 G j 就是G s 中的s j 时的结果 是 的复变
5、函数 显然 频率特性的量纲就是传递函数的量纲 也是输出信号与输入信号的量纲之比 四 频率特性的求法 1 频率响应频率特性从x0 t 的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位 然后 按幅频特性和相频特性的定义 就可分别求得幅频特性和相频特性 2 传递函数频率特性 系统的频率特性就是其传递函数G s 中用复变量j 替换s 也称G j 为谐波传递函数 例如 已知传递函数 则频率特性为 因此 G j 系统的频率响应为 3 用试验方法求解 条件 不知道传递函数或微分方程等数学模型 步骤1 改变输入谐波信号Xiej t频率的频率 并测出与此相对应的输出幅值Xo 与相移 步骤2 作出幅值比Xo Xi 对频率 的
6、曲线 此即幅频特性曲线 步骤3 作出相移 对频率 的曲线 此即相频特性曲线 系统的频率特性 频率特性概述 4 频率特性的特点和作用 1 由 当 时 并且 所以 即 这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应的傅立叶变换 对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析 系统的频率特性 频率特性概述 时间响应主要用于分析线性系统过渡过程 以获得系统的动态特性 而频率特性分析则通过分析不同频率的谐波输入时系统的稳态响应 获得系统的动态特性 在研究系统的结构和参数的变化对系统性能的影响时 在频域中分析比在时域中容易 根据频率特性 方便判断系统稳定性好稳定性储备 参数选择和系统校正 使系统尽可能达到预期的性
7、能指标 对高阶复杂线性系统的性能分析比较方便 某些频带干扰严重时 采用频率特性可以设计出合适的通频带 拟制噪声的影响 缺点 系统非线性产生的误差及应用的局限性 难应用于时变系统和多输入 多输出系统 等等 系统的频率特性 频率特性概述 例1 图示电路 设输入端的电压为e t Esin t 求通过电阻R的稳态电流i t 解 根据克希荷夫定律 有 故传递函数为 系统的频率特性为 幅频和相频特性为 根据频率特性的定义有 系统的频率特性 频率特性概述 例2 设输入信号为x t 2sint 测得输出为y t 4sin t 45 若系统传递函数如右式所示 求该系统的参数 和 n 系统的频率特性为 幅频和相频
8、特性为 系统的频率特性 频率特性概述 将 1及有关已知条件代入以上二式得 将以上二式联立求解得 系统的频率特性 第二讲频率特性的图示方法 极坐标图 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 一 频率特性的极坐标图 概念说明 极坐标图 Nyquist图或幅相频率特性图 奈奎斯特 N Nyquist 在1932年提出基于极坐标图方法以阐述反馈系统稳定性的问题 研究目的 利用直观曲线图形表达系统频率特性 特点 利用图解法表示幅值 相角随输入信号频率变化的几何关系 二 典型环节的Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquis
9、t图 系统的频率特性 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 小结 频率响应 线性定常系统对谐波输入的稳态响应频率特性 将传递函数G s 中的s转换为jw即 G jw 包括 频率特性的表示方法 2 图示表示方法 Nyquist图 极坐标图 典型环节的nyquist图 比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节延迟环节 系统的频率特性 Nyquist图 1 T U V KT 2 G j KT 2 G j 900 450 系统的频率特性 Nyquist图 系统的频率特性 Nyquist图 实例分析3 已知系统
10、的传递函数 试绘制Nyquist图 系统的频率特性为 幅频特性 相频特性 Nyquist图总结说明 对如下系统 0型系统 v 0 0 A 0 K A 0 0 0 n m 90 I型系统 v 1 0 0 90 n m 90 A 0 A 0 m 0 II型系统 v 2 m 0 开环含有v个积分环节系统 Nyquist曲线起自幅角为 v90 的无穷远处 n m时 Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点 且止于实轴上的某一有限远点 n m时 Nyquist曲线终点幅值为0 而相角为 n m 90 系统的频率特性 Nyquist图 若系统的频率特性为 绘图讨论 其Nyquist图的一般形状为 1 当
11、 0时 对0型系统 G j K G j 0 Nyquist起始点是一个正实轴上有有限值的点 对 型系统 G j G j 90 在低频段 Nyquist渐进于与负虚轴平行的直线 对 型系统 G j G j 180 在低频段 G j 负实部是比虚部阶数更高的无穷大 系统的频率特性 Nyquist图 2 当 时 对0型 型 型系统 G j const G j m n 90 要熟记课本131 133页常见Nyquist图 4 当G s 中含义导前环节时 若由于相位非单调下降 则Nyquist曲线将发生弯曲 3 当G s 中含义振荡环节时 不改变上述结论 要熟记课本137 139页常见Nyquist图
12、系统的频率特性 第三讲频率特性的图示方法 对数坐标图 Bode图 对数坐标图的坐标约定 两张图的纵坐标均按线性分度 横坐标是频率 采用对数 lg 分度 但在坐标标注时是标其真数 故横坐标无零点 1到10的距离等于10到100的距离 这个距离表示10倍频程 用dec表示 系统的频率特性 Bode图 一 对数坐标图 对数坐标图的组成 对数幅频特性图 它的纵坐标为20lg G 单位是分贝 用符号dB表示 对数相频特性图 它的纵坐标为 一个十倍频程 一个十倍频程 1 1 0 2 0 1 1 10 100 w 系统的频率特性 Bode图 对数坐标图的优势 可将串联环节的幅频特性乘除运算转变为加减运算 对
13、系统作近似分析时 只需画出对数幅频特性曲线的渐近线 大大简化了图形的绘制 可分别作出各个环节的Bode图 然后用迭加方法得到系统的Bode图 并由此看出各个环节对系统总特性的影响 因横坐标采用对数分度 所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来 简化计算和作图 有利于凸现低频特性 系统的频率特性 Bode图 二 典型环节的Bode图 1 比例环节 对数幅频特性为 对数相频特性为 频率特性 当K值改变时 对数幅频特性上下移动 相频特性不变 系统的频率特性 Bode图 60 20dB dec 20dB dec 20dB dec 900 00 900 相角均为 900 是一条直线 斜率 20dB de
14、c 积分环节对数频率特性曲线 61 对数曲线求斜率 a b La Lb a b 斜率 La Lb a b 62 例 求交接频率 幅值穿越频率 c c 0 4 斜率 7 96 lg1 1时 则有 令 1得 21 94 lg5 L 1 7 96 20lgk k 0 4 系统的频率特性 Bode图 系统的频率特性 Bode图 4 惯性环节 频率特性为 对数幅频特性为 幅频特性为 相频特性为 当 T 所以 对数幅频特性在低频段近似为0dB水平线 它止于点 T 0 0dB线称低频渐近线 所以 对数幅频特性在高频段近似为一直线 始于点 T 0 斜率为 20dB dec 称为高频渐近线 当 T 显然 T 1
15、 T为低频渐近线和高频渐近线的交点频率 称为转角频率 系统的频率特性 Bode图 根据上述分析可画出惯性环节对数幅频特性Bode图如下 从图中可以看出 惯性环节有低通频滤波的特性 当输入频率 T时 其输出很快衰减 即滤掉输入信号的高频部分 在低频段 输出能较准确地反映输入 对数相频特性为 因此 惯性环节的对数相频特性Bode图如下 对称于点 450 T 系统的频率特性 Bode图 根据上述分析可画出Bode图如下 系统的频率特性 Bode图 惯性环节Bode图精确曲线图 系统的频率特性 Bode图 惯性环节的误差修正曲线 0 1 T 10 T 系统的频率特性 Bode图 从图中可以看出 最大误
16、差发生在转角频率 T处 其误差为 3dB 在2 T或 T 2的频率出 e 为 0 91dB 即约为 1dB 而在10 T或 T 10的频率处 e 就接近于0dB 因此可以在 0 1 T 10 T 范围内对渐近线进行修正 系统的频率特性 Bode图 5 一阶微分环节 导前环节 频率特性为 与惯性环节互为倒数 若令 则 对数幅频特性为 相频特性为 显然 它与惯性环节的对数幅频特性和相频特性比较 仅相差一个符号 所以一阶微分环节的对数频率特性与惯性环节的对数频率特性呈镜像关系对称于 轴 系统的频率特性 Bode图 导前环节的Bode图 精确曲线 系统的频率特性 Bode图 6 振荡环节 传递函数为 频率特性为 幅频特性为 相频特性为 系统的频率特性 Bode图 系统的频率特性 Bode图 与惯性环节类似 渐近线和精确曲线之间有误差e 不仅与 有关 而且与 有关 越小 1处或其附近的峰值越高 精确曲线与渐近线之间的误差越大 误差修正曲线 78 夸张图形 1 25dB 系统的频率特性 Bode图 振荡环节的谐振频率 在 r n处 谐振峰值为 误差振荡环节Mr 关系曲线 系统的频率特性 Bode图
