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1、努力学习 报效祖国 1 8 3用叠加法计算梁的变形及梁的刚度计算 一 用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律 且变形很小的前提下 载荷与它所引起的变形成线性关系 当梁上同时作用几个载荷时 各个载荷所引起的变形是各自独立的 互不影响 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形 然后叠加 2 例8 3 如图用叠加法求 解 1 求各载荷产生的位移 2 将同点的位移叠加 3 试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度wC和两端截面的转角qA及qB 已知EI为常量 例题5 4 4 为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式 将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称
2、和反对称荷载的叠加 图b 例题5 4 解 5 在集度为q 2的正对称均布荷载作用下 查有关梁的挠度和转角的公式 得 例题5 4 6 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零 而且该截面上的弯矩亦为零 但转角不等于零 因此可将左半跨梁AC和右半跨梁CB分别视为受集度为q 2的均布荷载作用而跨长为l 2的简支梁 查有关梁的挠度和转角的公式得 在集度为q 2的反对称均布荷载作用下 由于挠曲线也是与跨中截面反对称的 故有 例题5 4 7 按叠加原理得 例题5 4 8 试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角qB 以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD 已知EI为常量 例题5 5 9 利用简支梁和悬
3、臂梁的挠度和转角公式 将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB 图b 和简支梁BC 图c 所组成 和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处 它们的指向和转向如图b及图c所示 例题5 5 解 10 图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同 注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B 而不会引起弯曲 简支梁BC 由q产生的 Bq wDq 图d 由MB产生的 BM wDM 图e 可查有关式 将它们分别叠加后可得 B wD 它们也是外伸梁的 B和wD 例题5 5 11 例题5 5 12 图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同 但要注意原外伸梁的B截
4、面是可以转动的 其转角就是上面求得的qB 由此引起的A端挠度w1 qB a 应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去 才是原外伸梁的A端挠度wA 例题5 5 13 14 逐段刚化法 变形后 AB AB BC B C 变形后AB部分为曲线 BC部分为直线 C点的位移为 wc 15 例 求外伸梁C点的位移 L a C A B P 解 将梁各部分分别引起的位移叠加 1 BC部分引起的位移fc1 c1 16 2 AB部分引起的位移fc2 c2 C A B P B2 17 例8 4 欲使AD梁C点挠度为零 求P与q的关系 解 18 例8 5 用叠加法求图示梁 端的转角和挠度 解 19 例8 6 求图示梁
5、B D两处的挠度wB wD 解 20 例8 7 求图示梁C点的挠度wC 21 解 22 三 梁的刚度条件 例8 8 图示工字钢梁 l 8m Iz 2370cm4 Wz 237cm3 w l 1 500 E 200GPa 100MPa 试根据梁的刚度条件 确定梁的许可载荷 P 并校核强度 刚度条件 w 是构件的许可挠度和转角 它们决定于构件正常工作时的要求 CL9TU40 机械 1 5000 1 10000 土木 1 250 1 1000 机械 0 005 0 001rad 23 解 由刚度条件 24 图a所示简支梁由两根槽钢组成 图b 试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号 已知 170MPa 1
6、00MPa E 210GPa 例题5 7 25 一般情况下 梁的强度由正应力控制 选择梁横截面的尺寸时 先按正应力强度条件选择截面尺寸 再按切应力强度条件进行校核 最后再按刚度条件进行校核 如果切应力强度条件不满足 或刚度条件不满足 应适当增加横截面尺寸 例题5 7 解 26 1 按正应力强度条件选择槽钢型号 梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示 最大弯矩为Mmax 62 4kN m 梁所需的弯曲截面系数为 例题5 7 27 而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz 367 10 6m3 2 183 5 10 6m3 183 5cm3 由型钢表查得20a号槽钢其Wz 178cm3 虽略小于所需的Wz
7、 183 5cm3 但所以可取20a号槽钢 例题5 7 28 2 按切应力强度条件校核 图c最大剪力FS max 138kN 每根槽钢承受的最大剪力为 例题5 7 29 Sz max为20a号槽钢的中性轴z以下半个横截面的面积对中性轴z的静矩 根据该号槽钢的简化尺寸 图d 可计算如下 例题5 7 30 当然 的值也可按下式得出 每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为Iz 1780 4cm4 1780cm4 例题5 7 31 故20a号槽钢满足切应力强度条件 于是 例题5 7 32 3 校核梁的刚度条件如图a 跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax 由叠加原理可得 例题5 7 33 梁的
8、许可挠度为 由于 因此 所选用的槽钢满足刚度条件 例题5 7 34 35 四 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关 而且还与梁的材料 截面尺寸 形状和梁的跨度有关 所以 要想提高弯曲刚度 就应从上述各种因素入手 一 增大梁的抗弯刚度EI 二 减小跨度L或增加支承降低弯矩M 三 改变加载方式和支承方式 位置等 36 8 5梁的弯曲应变能 一 梁的弯曲应变能 1 纯弯曲 2 横力弯曲 W 37 二 小结 1 杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功 V W 2 线弹性范围内 若外力从0缓慢的增加到最终值 其中 P 广义力 广义位移 拉 压 扭转 弯曲 38 例8
9、 12 试求图示悬臂梁的变形能 并利用功能原理求自由端B的挠度 解 39 8 4用比较变形法解超静定梁 一 静不定梁的基本概念 二 变形比较法解静不定梁 用多余反力代替多余约束 就得到一个形式上的静定梁 该梁称为原静不定梁的相当系统 又称静定基 梁的约束个数多于独立静力平衡方程的个数 40 解 将支座B看成多余约束 变形协调条件为 41 三 用变形比较法解静不定梁的步骤 1 选取基本静定结构 静定基如图 B端解除多余约束 代之以约束反力 2 求静定基仅在原有外力作用下于解除约束处产生的位移 4 比较两次计算的变形量 其值应该满足变形相容条件 建立方程求解 3 求仅在代替约束的约束反力作用下于解
10、除约束处的位移 42 6 4简单超静定梁 超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同 求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为 多余 约束 以约束力FB为 多余 未知力 解除 多余 约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁 基本静定系 43 基本静定系在原有均布荷载q和 多余 未知力FB作用下 图b 当满足位移相容条件 参见图c d 时该系统即为原超静定梁的相当系统 若该梁为等截面梁 根据位移相容条件利用物理关系 参见教材中的附录 所得的补充方程为 44 从而解得 多余 未知力 所得FB为正值表示原来假设的指向 向上 正确 固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为 45
11、该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得 如图所示 思考1 该梁的反弯点 弯矩变换正负号的点 距梁的左端的距离为多少 2 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解 如何求解 46 例8 10 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度 用短梁CD加固 设二梁EI相同 试求 二梁接触处的压力 解 解除约束代之以约束反力 变形协调条件为 47 例8 11 梁ABC由AB BC两段组成 两段梁的EI相同 试绘制剪力图与弯矩图 解 变形协调条件为 48 试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN 梁AC和杆AD的材料相同 弹性模量为E AD杆的横截面积为A AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 例题6 7 49 1
12、梁AC共有三个未知力 图b FN FB FC 但平面仅有两个平衡方程 故为一次超静定问题 例题6 7 解 50 2 把AD杆视为梁AC的 多余 约束 相应的 多余 未知力为FN 位移 变形 相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA 图b 即wA DlDA 例题6 7 51 3 求wA和DlDA wA是由荷载产生的wAq 图c 和FN产生的wAF 图d 两部分组成 例题6 7 52 把图d所示外伸梁 视为由悬臂梁AB 图e 和简支梁BC 图f 两部分组成 例题6 7 53 4 把wA和DlDA代入位移 变形 相容条件得补充方程 由此求得 例题6 7 54 试求图a所示等截面连续梁的约
13、束反力FA FB FC 并绘出该梁的剪力图和弯矩图 已知梁的弯曲刚度EI 5 106N m2 例题6 8 55 1 该梁有三个未知力FA FB FC 仅有两个平衡方程 故为一次超静定问题 例题6 8 解 56 2 若取中间支座B处阻止其左 右两侧截面相对转动的约束为 多余 约束 则B截面上的一对弯矩MB为 多余 未知力 相当系统如图b 例题6 8 57 相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零 即 例题6 8 3 查关于梁位移公式的附录 可得 58 4 将qB qB 代入位移相容条件补充方程 从而解得 这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反 即为MB负弯矩 例题6 8 59 5
14、利用图b可得约束力分别为 例题6 8 60 绘出剪力图和弯矩图分别如图c d所示 例题6 8 61 超静定梁多余约束的选择可有多种情况 例如 若以支座B为多余约束 FB为多余未知力 位移条件为wB 0 相当系统如图 e 所示 有如以支座C为多余约束 FC为多余未知 位移条件为wC 0 相当系统如图 f 所示 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的 例题6 8 62 II 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有 多余 约束存在 因而支座的不均匀沉陷和梁的上 下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响 在工程实践中这是一个重要问题 63 1 支座不均匀沉陷的影响 图a所示一次超静
15、定梁 在荷载作用下三个支座若发生沉陷 A B C 而沉陷后的支点A1 B1 C1不在同一直线上时 即沉陷不均匀时 支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值 64 现按如图a中所示各支点沉陷 B C A的情况进行分析 此时 支座B相对于支座A C沉陷后的点A1 C1的连线有位移 65 于是 如以支座B1作为 多余 约束 以约束力FB为 多余 未知力 则作为基本静定系的简支梁A1C1 参见图b 在荷载q和 多余 未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是 66 于是得补充方程 由此解得 其中的wB按叠加原理有 参见图c d 67 再由静力平衡方程可得 68 2 梁的上 下表面温度差异的影响
16、 图a所示两端固定的梁AB在温度为t0时安装就位 其后 由于梁的顶面温度升高至t1 底面温度升高至t2 且t2 t1 从而产生约束力如图中所示 由于未知的约束力有6个 而独立的平衡方程只有3个 故为三次超静定问题 l 69 现将右边的固定端B处的3个约束作为 多余 约束 则解除 多余 约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁 它在上 下表面有温差的情况下 右端产生转角qBt和挠度wBt 见图c 以及轴向位移 Bt 70 如果忽略 多余 未知力FBx对挠度和转角的影响 则由上 下表面温差和 多余 未知力共同引起的位移符合下列相容条件时 图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统 71 式中一些符号的意义见图c d e 72 现在先来求qBt和wBt与梁的上 下表面温差 t2 t1 之间的物理关系 从上面所示的图a中取出的微段dx 当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时 右侧截面相对于左侧截面的转角dq由图b可知为 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角dq为负 73 将此式积分 并利用边界条件 得 根据上式可知 该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为 74 从而有 至于温
