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1、 1 留数定理 2 应用留数定理计算实变函数积分 3 计算定积分补充题 第四章留数定理第四章留数定理1、留数定理2、应用留数定理计算实变函数积分3、计算定积分补充题4.2应用留数定理计算积分在自然科学中常常需要计算一些实积分,特别是计算一些在无穷区间上的积分、例如,光学问题中需要计算菲涅耳积分eosG)dxsinG)dx;热传导问题中需要计算Sin一“eos(bx)4x;咕尼振动闰题中需要计算积分等.我们在高等数子中已经知遭达些买支函数的积分需要特殊的技巧才能计算,有的很难,甚至不能计算。原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示,因而就不能用牛顿一一莱布尼兹公式计算,可是通过本节的学习
2、我们会发现,这些实积分可以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路径沿实轴时,z万X即对应于实积分),再利用留数定理,则积分显得方便易求。利用留数定理计莫实积分I一Qx一般可采用如下步骤:(1)添加辅助曲线,使积分路径构成闭合曲线;(2)选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数P(z),使得满足F(xr)=万(x),通常选用(z)=广(z),只有少数例外;(3)计算被积函数万(z)在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数然后求出这些留数之和;(4)计算辅助曲线上函数一(z)的积分值。通常我们选择辅助线使得积分简单易求,甚至直接为零。4.2.1I二R(c0s臼)sj1召)d臼型积分这是一个实变
3、量的积分,要用留数计算,可按上面步骤进行讨论。定理“设/(z)=R(cosb.sin0)为eos0.sin0的有理函数,东在0.27上连续,则共中/(o)=RZ十zZZ宣)，五代五2.:刀为单位园C乍卜1内部的个孤奇点证明若令=e“,则e+e1。z+27史e“zz22刑顶d=ies“*db=izd0亚且由变换z=e“知,当9从0变到2K时,=恰好沿单位圆周C:三1的正向绕一周,所以有cos0二ZZZ一Z1“2J422i。训一I曰Rc0s0.sin0)40=厂R(=155,2一_)上圭圆周C:门=1的221“认内部有个孤立奇点(二1.2,.7)时,则由留数定理有当有理函数个(z)=叉(广RCco
4、sb.sing)40=酗置ResF(z),zu02x“Q0例4.2.1求Z=I一一一一的值.02十cos0解】令z井g,则117=丿=会一一d山3井1nzai被积函数(z)=_在|五1内只有卑极点z二-24+x归,敦2+4z+12_Z二子XZ兀iReS/二一Z十厂_1一4hm缠扛一十/_哺祟例4.22求I兀典(O占D的值0l_2gcos囹十g_解:令z=ev,则7鼻生二二二yl_g(z+z)+B近“kH(sz-D(z8)被积函数在|z|=1内只有单极点z一E,其留数为Res/(s)=lim一二rsz151故由留数定理有小21leg2x2例42.3求7=|一052040(H口0_12pcos0十p解:后=ev,由干COSZ浸二王E二】雇十e一二】尸)二王:十:一二)v因此二一1吴十1T=三d卜一1_2p.不不+一主计LGQ-pJC-D)网9顺动1江/(_)一2亡(1万)CGz-D)在积分区域|:|=1内函数/(3)有二个极点z二0,z=,其中=0为一阶极点,z=为一阶极点,而ResA(z).0=基趸工置景二/二ResA(z).p=h二P)/(z)=瑞固此心7=2nRes/(z)0+Resf(z),p24二巳二一二2训2ip(L-p)2Rp-1
