【精编】工程力学之动力学的基本方程与动静法培训课件

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1、第一节质点动力学基本方程第二节质点动力学问题的动静法第三节刚体绕定轴转动动力学方程第四节质点系的动静法小结返回目录下一页上一页第六章动力学的基本方程与动静法本章主要叙述一些对运动物体进行动力分析所需的一些基本概念基本定理以及基本量的运算为对物体进行动力分析奠定一定的基础第六章动力学动力学的基本方程与动静法下一页上一页返回首页第一节质点动力学基本方程下一页上一页由经验可知要改变一个物体的运动状态即产生加速度都必须对物体施加力用同样大的力来推质量不同的物体则质量大的物体产生的加速度小质量小的物体产生的加速度就大它们的这样关系可用牛顿第二定律阐述如下质

2、点受力作用时所获得加速度的大小与作用力的大小成正比与质点的质量成反比加速度的方向与力的方向相同一质点动力学基本方程返回目录返回首页设作用在质点上的力为F 质点的质量为m 质点获得的加速度为a 则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为F ma 6 1 若将作用于质点上的合力视为主动力与约束力的合成则式可写成F F ma 6 2 一质点动力学基本方程返回下一页上一页返回首页式 6 1 及式 6 2 即被称为质点动力学的基本方程需要指出动力学基本方程给出了质点所受的力与质点加速度之间的瞬时关系即任意瞬时质点只有在力的作用下才有加速度不受力作用合力为零的质点

3、加速度必为零此时质点将保持原来的静止或匀速直线运动状态物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性对于不同的质点在获得相同的加速度时质量大的质点所需施加的力大小即质点的质量越大其惯性也越大由此可见质量是质点惯性的度量返回下一页上一页返回首页在地球表面上质量为m的物体在只有重力W作用而自由下落时重力加速度g 由式 6 1 可得物体重力和质量的关系式为W mg 6 3 重力和质量是两个不同的概念在不同地区重力加速度稍有差异物体的重力也略有不同在一般计算中可取g 9 8m s2 而质量是物体惯性的度量是物体的固有属性在古典力学中它不随物体的位置变化而改

4、变是一个不变的常量二质量与重力的关系以及国际单位制返回下一页上一页返回首页在力学的单位制中我国采用以国际单位制为基础的法定计量单位在国际单位制中长度单位是m 米质量单位是kg 千克时间单位是s 秒力的单位为导出单位根据牛顿第二定律力的单位是kg m s2 称为N 牛顿即是使lkg质量的物体产生lm s2的加速度所需施加力的大小为lN 于是质量为1kg的物体它的重力就为W mg 1kg 9 8m s2 9 8N 返回下一页上一页返回首页我国法定计量单位GB T3102 3 1986对于表示力的量的名称规定为重力而新标准GB T3102 3 19

5、96则已改为重量对物理量重量的定义物体在特定参考系中获得其加速度等于当地自由落体加速度时的力同时指出重量一词按照习惯仍可用于表示质量但不赞成这种习惯本书为避免混淆表示力时均采用重力而不使用重量一词返回下一页上一页返回首页设质量为m的质点M 在合力F的作用下以加速度a运动如图所示根据动力学基本方程有ma F 6 1 三质点运动微分方程及其应用它在直角坐标系的投影方程为返回下一页上一页返回首页 6 4 工程中有时采用动力学基本方程在自然坐标系上的投影较为方便在点作平面曲线运动时它在自然坐标系的质点运动的微分方程为 6 5 质点运动微分

6、方程的应用可分为两种基本类型质点动力学第一类问题已知质点的运动求作用于质点上的力例升降台以匀加速上升台面上放置一重力为的重物如图所示求重物对台面的压力解取重物为研究对象其上受两力作用如图所示取图示坐标轴由动力学基本方程可得故例卷扬小车连同起吊重物一起沿横梁以匀速向右运动此时钢索中的拉力等于重力当卷扬小车突然制动时重物将向右摆动如图所示求此时钢索中的拉力设钢索长为解取自然坐标系如图所示重物在摆动过程中其上作用有重力钢索拉力应用自然坐标形式的质点运动微分方程式 6 5 得小车突然制动重物向前摆动的瞬间此时钢索中的拉力达最大值

7、例已知质量为的质点在坐标平面内运动如图所示其运动方程为其中是常量求作用于质点上的力解这是一个已知运动而后求力的质点动力学第一类问题将质点运动方程消去时间得可见质点的运动轨迹是以为半轴的椭圆对运动方程求二阶导数即将上式代入式得在坐标轴上的投影可见力和点的位置矢径方位相同指向相反始终指向中心其大小与的大小成正比称之为有心力质点动力学第二类问题已知作用于质点上的力求质点的运动例液压减振器工作时活塞在液压缸内作直线运动若液体对活塞的阻力正比于活塞的速度即其中为比例常数设初始速度为试求活塞相对于液压缸的运动规律并确

8、定液压缸的长度解取活塞为研究对象如所示选水平轴并取活塞初始位置为原点活塞在任意位置时受到液体阻力为式中负号表示阻力方向与速度方向相反建立质点运动微分方程为分离变量对等式两边积分并以初始条件代入积分后得再次积分并以初始条件代入得到四质心运动定理质心概念在由个质点组成的质点系中设任一质点的质量为它在空间的位置以矢径表示则由式所确定的点称为质点系的质量中心简称质心式中为质点系的总质量质心位置的直角坐标形式为 6 6 6 7 如将式的分子分母同乘以重力加速度后即为质点系重心的公式可见在重力场中质点系的质心与重心的位置是重合的但

9、需指出的是质心与重心是两个不同的概念质心反映了构成质点系的各质点质量的大小及质点的分布情况而重心是各质点所受的重力组成的平行力系的中心在失重状态下重心也就没有意义了而质心却始终存在质心运动定理将式对时间求一阶导数得将式对时间求二阶导数得 6 10 6 8 6 9 这就是质心运动定理即质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系上外力的矢量和或外力系的主矢把质心运动定理和动力学基本方程相比较可以看出它们在形式上完全相似因此质心运动定理也可用另一种方式来表述质点系质心的运动与下述质点运动相同这个质点的质量等于质点系的总质量同时把所有外力都平移到该

10、点上在实际应用时常将质心运动定理写成投影式即 6 11 质心运动守恒定理若作用于质点系上外力系的矢量和恒等于零即 Fi 0 由则式 6 10 可知 mac 0 即ac 0 于是得vc 常数这就是说质心作惯性运动若作用于质点系上的外力系在某轴上投影的代数和恒等于零如 Fx 0 则由式 6 11 可知 macx 0 这就是说质心速度在轴上的投影保持不变若开始时质心处于静止即vcxo 0 则无论质点系各质点如何运动其质心坐标xc将保持不变此结论又称质心位置守恒定律根据xc xco 又可改写成 mx mxo 常数 6 12 上述两种情况均可泛称为质心运动守恒定理应该指

11、出质心的运动与质点系内的内力无关即内力不能改变质心的运动也与外力的作用位置无关而仅与外力系的主矢有关例设电动机外壳和定子质量为m1 转子质量为m2 转子的质心位于O2 由于制图电动机造和安装上的误差不在轴线上如图所示设偏心距O1O2 转子以匀角速度转动如电动机固定在机座上求机座对电动机的约束力解选取外壳定子及转子为质点系作用在质点系上的外力有外壳定子的重力 1 m1g 转子的重力 2 m2g 约束力Fx及Fy 取坐标系如图所示外壳与定子的质心在坐标原点O1处转子质心O2的坐标为x2 ecos t 2 esin t 质点系的质心的坐标为质心C的加速度为约束

12、力中 m2e 2cos t和 m2e 2sin t这两部分是由于转子偏心引起的附加动反力随时间作周期性变化附加动反力将会导致机座的振动及使电动机及机座受到损坏将acx acy代入式 a 和式 b 解得机座对电动机的约束力为根据质心运动定理式 6 11 有例浮动起重机质量m1 20t 吊起重物的质量m2 2t 起重臂长AB l 8 并与垂线成60 角如图所示若水的阻力和起重臂的质量略去不计试求起重臂转到与垂线成30 时浮动起重机的位移解将起重机与重物确定为一质点系因不计水的阻力质点系在水平方向不受外力根据质心运动定理 aox 0 又因为起始时质点系质心是静止的即

13、vox 0 所以符合质心位置守恒的条件质点系质心在水平方向的坐标xc始终保持不变设船宽的一半为a 取固结在海底的坐标轴y与起始位置的起重机中心线重合如图所示据式 6 12 可列出当起重臂AB转到与铅垂线成30 时浮动起重机位移为 x 如图b所示此时可列出根据质心位置守恒定理 mxo mx 故化简并整理后可得一惯性力的概念当物体受到其他物体的作用而引起其运动状态发生改变时由于它具有惯性力图保持其原有的运动状态因此对于施力物体有反作用力这种反作用力称为惯性力第二节质点动力学问题的动静法返回下一页上一页返回首页例如质量为m的小球用绳子系住并在水平面内作匀速

14、圆周运动小球在绳的拉力FT的作用下产生向心的加速度an由动力学基本方程可知小球上的作用力FT man 称为向心力小球由于惯性而给绳的反作用力即为小球的惯性力由作用与反作用公理可知 F T与FT大小相等方向相反称为离心力故F T FT man 6 4 返回下一页上一页返回首页因此当质点受到力的作用而产生加速度质点由于惯性必然给施力物体以反作用力该力即被称为质点的惯性力故质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积方向与加速度的方向相反它不作用于运动质点本身而作用于周围施力物体上如用FQ表示惯性力则FQ ma 6 13 返回下一页上一页返回首页设

15、一质量为m的质点M 在主动力F和约束反力FN的作用下沿轨迹AB运动其加速度a 根据动力学基本方程有二质点动力学问题的动静法 F FN ma上式与式 6 5 相加可得F FN FQ 0 6 14 返回下一页上一页返回首页式 6 14 表明在质点运动的任一瞬时作用于指质点上的主动力约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上组成一平衡力系这种处理动力学问题的方法称为动静法应该强调指出指点并没有受到惯性力的作用动静法中的平衡力系是虚拟的实际上也是不成立的质点实际上处于不平衡状态但在质点上假想地加上惯性力后就可以将动力学的问题用静力学的理论和方法来求解这将给解

16、题带来很大的方便 F FN FQ 0 6 14 返回下一页上一页返回首页将式 6 14 向直角坐标轴投影可得Fx FNx FQx 0Fy FNy FQy 0式中 FQx max FQy may将式 6 14 向自然坐标轴投影可得F FN FQ 0Fn FNn FQn 0式中 FQ ma m FQn man m F FN FQ 0 6 6 6 15 6 16 返回下一页上一页返回首页利用动静法解题时首先要明确研究对象分析它所受的力画出受力图其次分析它的运动确定惯性力并虚加在质点上最后利用静力学平衡方法求解这个动力学问题返回下一页上一页返回首页小物块A放在车的斜面上斜面倾角为30 物块A与斜面的摩擦因数f 0 2 若车向左加速运动试问物块不致沿斜面下滑的加速度a 解以小物块A为研究对象并视其为质点作物块A的受力图其上作用有重力G 法向反力FN和摩擦力F FQ F 例6 7 G FN x 30 30 a y 物块随车以加速度a运动其惯性力的大小为FQ G g a 将此惯性力以与a相反的方向加到物块上取直角坐标系建立平衡方程 Fx 0

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