《2020版高考数学大一轮复习 第7章 不等式 第3讲 基本不等式课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学大一轮复习 第7章 不等式 第3讲 基本不等式课件 文（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲基本不等式 考情精解读 A考点帮 知识全通关 目录CONTENTS 命题规律 聚焦核心素养 考点1基本不等式考点2基本不等式与最值 考法1利用基本不等式求最值考法2利用基本不等式解决实际问题考法3利用基本不等式证明不等式 B考法帮 题型全突破 C方法帮 素养大提升 易错忽略应用基本不等式的前提条件致误 考情精解读 命题规律聚焦核心素养 命题规律 1 命题分析预测本讲是高考的热点 主要考查利用基本不等式求最值 证明不等式 求参数的取值范围等 常与函数结合命题 解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件 2 学科核心素养本讲通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算素养 聚焦核心素养 A考点帮
2、知识全通关 考点1基本不等式考点2基本不等式与最值 考点1基本不等式 1 基本不等式如果a 0 b 0 那么 2 当且仅当a b时 等号成立 其中 2叫作a b的算术平均数 叫作a b的几何平均数 即正数a b的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 几个常用的重要结论 1 a2 b2 2ab a b R 当且仅当a b时取等号 2 a b 2 a 0 b 0 当且仅当a b时取等号 3 ab 2 2 a b R 当且仅当a b时取等号 4 a 1 2 a 0 当且仅当a 1时取等号 a 1 2 a0 b 0 当且仅当a b时取等号 注意在运用基本不等式及其变形时 一定要验证等号是否成立 考点2
3、基本不等式与最值 最值定理 已知x 0 y 0 1 若x y s 和为定值 则当x y时 积xy取得最大值 24 简记 和定积最大 2 若xy p 积为定值 则当x y时 和x y取得最小值2 简记 积定和最小 注意 1 此结论应用的前提是 一正 二定 三相等 一正 指正数 二定 指求最值时和或积为定值 三相等 指等号成立 2 连续使用基本不等式时 牢记等号要同时成立 B考法帮 题型全突破 文科数学第七章 不等式 考法1利用基本不等式求最值考法2利用基本不等式解决实际问题考法3利用基本不等式证明不等式 考法1利用基本不等式求最值 1 代数式最值的求解示例1 1 2018辽宁两校联考 已知a b
4、 0 则a 4 1 的最小值为A 3102B 4C 23D 32 2 设0 x 32 则函数y 4x 3 2x 的最大值为 思维导引 1 观察式子结构特征 将a用后面两个式子的分母表示 凑出积为定值的形式 利用基本不等式求最值 2 观察式子结构特征 拼系数 凑出和为定值的形式 利用基本不等式求最值 解析 1 因为a 12 a b a b 所以a 4 1 12 a b 4 12 a b 1 变形凑成积为定值 因为a b 0 所以a b 0 a b 0 由基本不等式可12 a b 4 212 a b 4 22 当且仅当12 a b 4 即a b 22时 等号成立 12 a b 1 212 a b
5、1 2 当且仅当12 a b 1 即a b 2时 等号成立 由 22 2 解得 322 22 检验等号成立的条件 所以当 322 22时 中的等号同时成立 故a 4 1 的最小值为22 2 32 故选D 2 y 4x 3 2x 2 2x 3 2x 2 2 3 2 2 2 92 当且仅当2x 3 2x 即x 34时 等号成立 因为34 0 32 所以函数y 4x 3 2x 0 x 32 的最大值为92 2 条件最值的求解示例2若直线2mx ny 2 0 m 0 n 0 过点 1 2 则1 2 的最小值为A 2B 6C 12D 3 22 思维导引把点的坐标代入直线的方程得m与n的关系式 把1 2
6、变换后进行 1 的代换 利用基本不等式求最值 解析因为直线2mx ny 2 0 m 0 n 0 过点 1 2 所以2m 2n 2 0 即m n 1 所以1 2 1 2 m n 3 2 3 22 运用 1 的代换求解 当且仅当 2 即n 2m时取等号 所以1 2 的最小值为3 22 答案D 拓展变式1 2018山东 湖北部分重点中学冲刺模拟 已知D E分别是 ABC的边AB AC的中点 M是线段DE上的一动点 不包含D E两点 且满足 则1 2 的最小值为 A 42B 8C 6 42D 6 42 解析1 D由于M是线段DE上的一动点 不包含D E两点 D E分别是AB AC的中点 所以 2 2
7、所以 0且2 2 1 解法一由2 2 1 得 1 2 2 由 0 得0 12 所以1 2 1 21 2 2 1 41 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 令t 1 2 则t 1 2 所以1 2 1 2 12 2 t 2 1 2 2 2 3 2 2 2 3 由基本不等式可得2 t 22 当且仅当2 t 即t 2时等号成立 又t 1 2 所以2 t 3 所以0 2 t 3 3 22 故2 2 3 23 22 6 42 所以1 2 的最小值为6 42 选D 解法二1 2 1 2 2 2 6 2 4 6 42 当且仅当 2 12 2 22时取等号 故1 2 的最小值为6 42 选D 解后反思 该题
8、由已知得到2 2 1之后 解法一利用了 消元代换法 即将问题转化为一个变元的问题求解 然后通过换元变形构造基本不等式求解最值 而解法二则是利用常数 1 的代换 将目标代数式进行等价变形整理得到 积为常数 的形式 从而利用基本不等式求解最值 考法2利用基本不等式解决实际问题 示例3经调查测算 某产品的年销售量 即该厂的年产量 x万件与年促销费用m万元 m 0 满足x 3 1 k为常数 若不搞促销活动 则该产品的年销售量只能是1万件 已知2018年生产该产品的固定投入为8万元 每生产1万件该产品需要再投入16万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1 5倍 产品生产包括固定投入和再投入
9、两部分资金 1 将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数 2 该厂家2018年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 思维导引 解析 1 由题意可知 当m 0时 x 1 1 3 k 解得k 2 即x 3 2 1 代值定参数 每1万件产品的销售价格为1 5 8 16 万元 2018年的利润y x 1 5 8 16 8 16x m 建模 利润 总收入 总投入 4 8x m 4 8 3 2 1 m 28 16 1 m m 0 y与m之间的函数关系式是y 28 16 1 m m 0 2 由 1 知y 16 1 m 1 29 m 0 当m 0时 16 1 m 1 216 1 1 8
10、利用基本不等式求最值 当且仅当16 1 m 1 即m 3时取等号 y 8 29 21 即当m 3时 y取得最大值 为21 当该厂家2018年的促销费用投入3万元时 厂家获得的利润最大 为21万元 拓展变式2随着社会的发展 汽车逐步成为人们的代步工具 家庭轿车的持有量逐年上升 交通堵塞现象时有发生 据调查某段公路在某时段内的车流量y 单位 千辆 时 与汽车的平均速度v 单位 千米 时 之间有函数关系 y 900 2 8 1600 v 0 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大 最大车流量约为多少 结果保留两位小数 2 为保证在该时段内车流量至少为10千辆 时 则汽车的平均速度应控
11、制在什么范围内 解析2 1 由题意知 v 0 则y 900 2 8 1600 900 1600 8 90080 8 90088 22522 当且仅当v 1600 即v 40时取等号 所以ymax 22522 10 23 故当v 40时 车流量y最大 最大约为10 23千辆 时 2 由y 900 2 8v 1600 10 得90 2 8v 1600 1 即90v v2 8v 1600 整理得v2 82v 1600 0 即 v 32 v 50 0 解得32 v 50 所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆 时 汽车的平均速度应大于等于32千米 时且小于等于50千米 时 考法3利用基本不等式证明不
12、等式 示例4 1 已知a b c R 求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 2 设a b均为正实数 求证 1 2 1 2 ab 22 解析 1 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 当且仅当a4 b4 c4时取等号 2 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 即a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 又a2b2 b2c2 2ab2c b2c2 c2a2 2abc2 当且仅当a2 b2 c2时取等号 c2a2 a2b2 2a2bc 2 a2b2 b2c2 c2a2 2 ab2c abc2 a2bc 即a2b
13、2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc abc a b c a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 2 a b均为正实数 1 2 1 2 21 2 1 2 2 当且仅当1 2 1 2 即a b时等号成立 2 ab 22 22 当且仅当2 ab时等号成立 所以1 2 1 2 ab 2 ab 22 当且仅当1 2 1 22 ab即a b 时取等号 多次使用不等式 等号要同时成立 拓展变式3已知a 0 b 0 a b 1 求证 1 1 1 1 9 解析3 解法一 a 0 b 0 a b 1 1 1 1 2 同理 1 1 2 1 1 1 1 2 2 5 2 5
14、 4 9 当且仅当 即a b 12时取 1 1 1 1 9 当且仅当a b 12时等号成立 解法二 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a 0 b 0 a b 1 ab 2 2 14 当且仅当a b 12时取 1 4 2 8 当且仅当a b 12时取 1 1 1 1 1 8 9 当且仅当a b 12时等号成立 C方法帮 素养大提升 易错忽略应用基本不等式的前提条件致误 示例5若x 12 则f x 12 1 4xA 有最小值2 22B 有最大值2 22C 有最小值2 22D 有最大值2 22易错分析本题有两个易错点 一是不会将4x变为2 2x 1 2 导致错误 二是忽略2x 1 0 直接利用基本不等式求解 导致错误 易错忽略应用基本不等式的前提条件致误 解析由题意可知 f x 12 1 2 2x 1 2 因为x 12 所以2x 1 0 所以12 1 2 2x 1 2 1 2x 11 2 22 1 2x 11 2 22 当且仅当12 1 2 2x 1 即x 2 24时等号成立 所以f x 2 22 即f x 有最大值2 22 答案D
