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1、 胆/渐开线与摆线1.渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铣笔画出的曲线就是圆的_渐开线,相应的定圆叫做境圆.2.摆线的概念及产生过程圆的搓线就是一个圆沿着一条定直线无滢动地滚动时圆周上一个定点的轨迹,圆的摄线又叫_旋轮线.3.圆的渐开线和摆线的参数方程D圆的渐开线方程:廿二哎m唧十娜加90)(p为参数).一r(sing一gcos0)Q)摆线的参数方程:扩二俪_恤p).为参数)y一r(L-eos0)E国的渐开线的参数方程例1l_求半径为4的圆的渐开线的参数方程.思路点拨关键根据淼开线的生成过程,归结到向量知识和
2、三角的有关知识建立等式关系.解|以圆心为原点0,绳端点的初始位置为Mf,向量07的方向为x轶正方向,建立坐标系,设渐开线上的任意点MC,绳拉直时和圆的切点为4,故O414M7,按渐开线定义,弦,的长和线段4M的长相等,记7和轴正向所夹的角为0(以弧度为单位),则4MI一口M一40.作4B垂目于x轴,过M点作4的垂线,由三角函数和向量知识,得yLw扎8牌一03=(4cos0,4sin0).由几何知识知人M4B二0,3257一(40sin9,一40cos0,得0矶二04十7.一(4cos0十40sin0,4sin0一40cos0)一(4(cos0十0sin0),4(sin0一bcos0).又0M=
3、Cc0,*一4(cos0十0sin0),因此有L二4(血0一0cos0).这就是所求圆的渐开线的参数方程.方法.规律.小结圆的渐开线的参数方程中,字母/表示基圆的半径,字母g是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角;另外,渐开线的参数方程不宜化为普通方程.L颜组集刍LiX一3cos0十3psin0,、1.已知圆的渐开线的参数方程1,(p为V一3sing一3pcos0参数),则此渐开线对应基圆的半径是5J一3(cos9十gsin9),解析:圆的渐开线的参数方程可化为|_c,一)一3(sing一gcos9)(9为参数),圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定,从方程不难看出基圆的半径“二3.答秋:32-已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点4,B对应的参数分别是#和2,求4,B两点的距离.解:根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方x一cos9十gsin0,程是“,8“g为参数),)一sin9一gcos9分别把p一3和p一万代入,可得4,8两点的坐标分别为3十媚33一桥|6。62
