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1、2 4 1向量在几何中的应用 章 2 4向量的应用 学习目标1 经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程 2 体会向量是一种处理几何问题的有力工具 3 培养运算能力 分析和解决实际问题的能力 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一向量在平面几何中的应用 思考1 证明线段平行 点共线及相似问题 可用向量的哪些知识 答案可用向量共线的相关知识 a b a b x1y2 x2y1 0 b 0 设a x1 y1 b x2 y2 a b的夹角为 思考2 证明垂直问题 可用向量的哪些知识 答案可用向量垂直的相关知识 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 答案
2、思考3 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 是怎样的 答案 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何关系 答案 1 证明线段平行问题 包括相似问题 常用向量平行 共线 的等价条件 a b b 0 2 证明垂直问题 如证明四边形是矩形 正方形等 常用向量垂直的等价条件 非零向量a b a b 3 求夹角问题 往往利用向量的夹角公式 cos 4 求线段的长度或证明线段相等 可以利用向量的线性运算 向量模的公式 a 梳理 x1y2 x2y1 0 a b a b
3、 0 x1x2 y1y2 0 知识点二直线的方向向量和法向量 思考 若向量a a1 a2 平行于直线l 则a1 a2与直线l的斜率k有何关系 答案 答案设A x1 y1 l P x y l 直线l的倾斜角为 斜率为k 向量a平行于l 由直线斜率和正切函数的定义 如果知道直线的斜率k 则向量 a1 a2 一定与该直线 这时向量 a1 a2 称为这条直线的向量 如果表示向量的基线与一条直线垂直 则称这个向量垂直该直线 这个向量称为这条直线的向量 即直线y kx b的方向向量为 法向量为 直线Ax By C 0的方向向量为 法向量为 梳理 平行 方向 法 1 k k 1 B A A B 题型探究 类
4、型一用平面向量解决平面几何问题 例1已知在正方形ABCD中 E F分别是CD AD的中点 BE CF交于点P 求证 1 BE CF 证明 证明建立如图所示的平面直角坐标系 设AB 2 则A 0 0 B 2 0 C 2 2 E 1 2 F 0 1 2 AP AB 证明 x 2 y 1 即x 2y 2 即AP AB 反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 1 向量的线性运算法的四个步骤 选取基底 用基底表示相关向量 利用向量的线性运算或数量积找出相应关系 把几何问题向量化 2 向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系 把相关向量坐标化 用向量的坐标运算找出相应关系 把几何问题
5、向量化 跟踪训练1如图 在正方形ABCD中 P为对角线AC上任一点 PE AB PF BC 垂足分别为E F 连接DP EF 求证 DP EF 证明 证明方法一设正方形ABCD的边长为1 AE a 0 a 1 a a2 a 1 a 0 方法二如图 以A为原点 AB AD所在直线分别为x轴 y轴建立平面直角坐标系 例2已知 ABC的三个顶点A 0 4 B 4 0 C 6 2 点D E F分别为边BC CA AB的中点 1 求直线DE EF FD的方程 类型二向量在解析几何中的应用 解由已知得点D 1 1 E 3 1 F 2 2 2 x 1 2 y 1 0 即x y 2 0为直线DE的方程 同理可
6、求 直线EF FD的方程分别为x 5y 8 0 x y 0 解答 2 求AB边上的高线CH所在的直线方程 解答 解设点N x y 是CH所在直线上任意一点 4 x 6 4 y 2 0 即x y 4 0为所求直线CH的方程 反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题 首先将线段看成向量 再把坐标利用向量法则进行运算 解答 跟踪训练2在 ABC中 A 4 1 B 7 5 C 4 7 求 A的平分线所在的直线方程 A的平分线的一个方向向量为 设P x y 是角平分线上的任意一点 整理得7x y 29 0 当堂训练 2 3 4 1 1 已知在 ABC中 若 a b 且a b 0 则 ABC的形状为A 钝角
7、三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 不能确定 答案 5 2 过点A 2 3 且垂直于向量a 2 1 的直线方程为A 2x y 7 0B 2x y 7 0C x 2y 4 0D x 2y 4 0 答案 解析 即 x 2 2 y 3 1 0 即2x y 7 0 2 3 4 1 5 答案 解析 A 平行四边形B 矩形C 等腰梯形D 菱形 即平行四边形ABCD的对角线垂直 平行四边形ABCD为菱形 2 3 4 1 5 答案 解析 22 2 3 4 1 5 2 3 4 1 5 5 如图所示 在 ABC中 点O是BC的中点 过点O的直线分别交直线AB AC于不同的两点M N 若 则m n的值为 2 答案 解析 又 M O N三点共线 2 3 4 1 5 规律与方法 利用向量方法可以解决平面几何中的平行 垂直 夹角 距离等问题 利用向量解决平面几何问题时 有两种思路 一种思路是选择一组基底 利用基向量表示涉及的向量 另一种思路是建立坐标系 求出题目中涉及的向量的坐标 本课结束
