《2017-2018高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性新人教B选修1-1(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018高中数学第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性新人教B选修1-1(1)（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 导数及其应用 3 3导数的应用3 3 1利用导数判断函数的单调性 学习目标 1 掌握函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 3 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 与f x2 的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如何利用导数来判断函数的单调性 答 根据导数的几何意义 可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系 如果切线的斜率大于
2、零 则其倾斜角是锐角 函数曲线呈上升的状态 即函数单调递增 如果切线的斜率小于零 则其倾斜角是钝角 函数曲线呈下降的状态 即函数单调递减 预习导引 1 函数的单调性与导数的关系 1 在区间 a b 内由函数的导数求单调性有如下关系 增 减 2 在区间 a b 内由函数的单调性求导数有如下关系 增 减 2 一般地 如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 说明函数在这个范围内 这时 函数的图象就比较 反之 函数的图象就比较 变化得快 平缓 陡峭 要点一利用导数判断函数的单调性 则cosx0 xcosx sinx 0 规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性
3、质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 或 0 则f x 单调递增 或递减 但要特别注意 f x 单调递增 或递减 则f x 或 0 故f x 在区间 0 e 上是增函数 要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间 1 f x 2x3 3x2 36x 1 解f x 6x2 6x 36由f x 0得6x2 6x 36 0 解得x2 由f x 0解得 3 x 2故f x 的增区间是 3 2 减区间是 3 2 2 f x sinx x 0 x 解f x cosx 1 因为0 x 所以cosx 1 0恒成立 故函数f x 的单调递减区间为 0 3 f x 3x2 2lnx 解
4、函数的定义域为 0 4 f x x3 3tx 解f x 3x2 3t令f x 0 得3x2 3t 0 即x2 t 当t 0时 f x 0恒成立 且f x 在R的任何子区间上都不恒为零 函数的增区间是 规律方法求函数的单调区间的具体步骤是 1 优先确定f x 的定义域 2 计算导数f x 3 解f x 0和f x 0的区间为增区间 定义域内满足f x 0的区间为减区间 跟踪演练2求下列函数的单调区间 1 f x x2 lnx 解函数f x 的定义域为 0 2 f x x3 x2 x 解f x 3x2 2x 1 3x 1 x 1 要使f x 在 2 上是单调递增的 则f x 0在x 2 时恒成立
5、x2 0 2x3 a 0 a 2x3在x 2 上恒成立 a 2x3 min y 2x3在 2 上是单调递增的 2x3 min 16 a 16 a的取值范围是 16 规律方法已知函数的单调性 求函数解析式中参数的取值范围 可转化为不等式恒成立问题 一般地 函数f x 在区间I上单调递增 或减 转化为不等式f x 0 f x 0 在区间I上恒成立 再用有关方法可求出参数的取值范围 解析y x2 2bx 2b 3 要使原函数在R上单调递减 应有y 0恒成立 4b2 4 2b 3 4 b2 2b 3 0 1 b 3 故使该函数在R上不是减函数的b的取值范围是b3 1 3 1 2 3 4 1 函数f x
6、 x lnx在 0 6 上是 A 增函数B 减函数 1 2 3 4 2 f x 是函数y f x 的导函数 若y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是 1 2 3 4 1 2 3 4 解析由导函数的图象可知 当x0 即函数f x 为增函数 当02时 f x 0 即函数f x 为增函数 观察选项易知D正确 答案D 1 2 3 4 3 若函数f x x3 ax2 x 6在 0 1 内单调递减 则实数a的取值范围是 A 1 B a 1C 1 D 0 1 解析 f x 3x2 2ax 1 又f x 在 0 1 内单调递减 不等式3x2 2ax 1 0在 0 1 内恒成立 f 0 0 且f 1 0 a 1 A 1 2 3 4 4 函数y x2 4x a的增区间为 减区间为 解析y 2x 4 令y 0 得x 2 令y 0 得x 2 所以y x2 4x a的增区间为 2 减区间为 2 2 2 课堂小结1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性 导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度 2 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间
