导数复习课

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1、导数复习 缺少定积分部分 一 知识网络 几何意义 割线的斜率 物理意义 瞬时速度 几何意义 切线方程 3 导函数的定义 思考 f x 与f x0 有何区别 答 f x 是x的函数 f x0 只是f x 的一个函数值 是一个数 4 几个常用函数的导数 利用导数定义求导步骤 5 基本初等函数导数公式 6 导数的运算法则 即时应用 求下列函数的导数 y x2sinx y y 2xsinx x2cosx 7 复合函数求导 若y f u u g x 则yx yu ux 即时应用 1 y 0 则y 2 y ex2 则y 3 y 则y 答案 8 导数在函数中的应用 导数与单调性 思考感悟若函数f x 在区间

2、 a b 内单调递增 则f x 0 这种说法是否正确 提示 不正确 函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 此处f x 0 并不是指x在 a b 内处处有f x 0 可能只在某些具体的点处f x 0 即f x 不恒等于0 导数与极值 1 极值点与极值设函数f x 在点x0及附近有定义 且在x0两侧的单调性 或导数值异号 则x0为函数f x 的极值点 f x0 为函数的极值 2 极大值点与极小值点 若先增后减 导数值先正后负 则x0为 点 若先减后增 导数值先负后正 则x0为 点 相反 极大值 极小值 2 函数极值的求法求可导函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 列表

3、 检验f x 在方程f x 0的根左右两侧的符号 判断y f x 在根左右两侧的单调性 确定是否为极值 是极大值还是极小值 思考感悟方程f x 0的根就是函数y f x 的极值点是否正确 提示 不正确 方程f x 0的根未必都是极值点 导数与最值 在闭区间 a b 上连续 在 a b 内可导 f x 在 a b 上求最大值与最小值的步骤 1 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 求f x 在 a b 内的极值 最大值 最小值 即时应用 思考 最值是否一定是极值 提示 不一定 如果最值在端点处取得就不是极值 1 函数f x x lnx的单调区间是 答案 0

4、 1 2 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 答案 5 15 3 f x x3 3x2 3x的极值点的个数是 答案 04 函数y ax3 x在 上是减函数 则a的取值范围是 答案 0 5 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象如图所示 则y f x 的图象最有可能是 考点探究 挑战高考 利用导数判断函数单调性的步骤 1 求导数f x 2 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0或f x 0 3 根据 2 的结果确定函数f x 的单调区间 思路分析 1 求f x 及f 2 2 求f x 转化为研究二次函数的问题 对a分类讨论 名师点评 常见的分

5、类讨论原因有函数的类型不确定及求的根大小不确定等 与求导后所得的函数类型有关 讨论的关键是要理清线索 做到不重不漏 变式训练1设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数f x 的单调区间 名师点评 在解决已知函数单调区间求参数值或范围时 要注意两种题型的区别 一是已知f x 单调区间为D 求参数范围 二是已知f x 在D上单调 求参数范围 变式训练2已知f x x2 2x alnx 若f x 在区间 0 1 上恒为单调函数 则实数a的取值范围为 2x2 2x a 0或2x2 2x a 0在区间 0 1 上恒

6、成立 即a 2x2 2x 或a 2x2 2x 而函数y 2x2 2x在区间 0 1 的值域为 4 0 a 0或a 4 答案 a 0或a 4 利用导数求函数极 最 值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 4 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 思路分析 先求出函数f x 的导函数f x 再令导函数f x 0 并求出其根 然后对a分a 0 a 0两种情况 列表讨论f x 与f x 的变化情况 最后由f x 与f x 的变化情况确定出函数

7、的极值 名师点评 本题是三次函数的极值点问题 三次函数求导后 导函数为二次函数 因而讨论时可结合二次函数的知识 尤其是二次函数的图象来研究 变式训练3 2010年高考重庆卷 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 1 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 单调性是导数应用的重点内容 主要有四类问题 运用导数判断单调区间 证明单调性 已知单调性求参数 先证明其单调性 再运用

8、单调证明不等式等问题 2 函数的单调性设函数f x 是定义在 a b 上的可导函数 则f x 0 f x 0 是f x 在 a b 上单调递增 递减 的充分不必要条件 如f x x3在R上是增函数 但当x 0时 f 0 0 2 求单调区间的一般步骤 求导数f x 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0 f x 0 确定单调区间 特别注意 1 考虑定义域 2 定义区间上的不连续点和不可导点 3 函数的极值是在局部对函数值的比较 它只能是函数定义域中的内点 而不能是端点 而最值是在整个定义域上对函数值的比较 它可以在端点处取得 9 生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大

9、用料最省 效率最高等问题中 解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型 函数关系 再利用导数研究其单调性和最值 解题过程中要时刻注意实际问题的意义 例3 2011 山东高考 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解题指南 本题为应用题 1 先求出l和r的关系 再根据

10、问题情境列出函数解析式 注意函数的定义域 2 利用导数求函数的最值 先求导 再判断函数的单调性 然后根据单调性求出极值 再由函数的定义域求出最值 规范解答 1 因为容器的容积为立方米 所以解得 由于l 2r 因此0 r 2 所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以建造费用y 定义域为 0 2 2 因为y 由于c 3 所以c 2 0 所以令y 0得 令y 0得 0 r 当3 c 即 2时 函数y在 0 2 上是单调递减的 故建造费用最小时r 2 当c 即0 2时 函数y在 0 2 上是先减后增的 故建造费用最小时r 反思 感悟 1 解决实际问题 数学建模是关键 恰当变量的选择

11、决定了解答过程的繁简 函数模型的确定 决定了能否解决这个问题 2 解决实际问题必须考虑实际意义 忽视定义域是这类题目失分的主要原因 变式训练 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 y 已知甲 乙两地相距100千米 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析 1 当x 40时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5小时 要耗油 17 5 升 答 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 2 当速度为x千米

12、小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为h x 升 依题意得h x h x 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 变式备选 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件

13、 1 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润L最大 并求出L的最大值Q a 解析 1 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为 L x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 L 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令L 0得x 6 或x 12 不合题意 舍去 在x 6 两侧 由左向右L 的值由正变负 所以 当8 6 9即3 a 时 Lmax L 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 当9 6 即 a 5时 Lmax 所以Q a 即 若3 a 则当每件售价为9元时 分公司一年的利润L最大 最大值Q a 9 6 a 万元 若 a 5 则当每件售价为 6 元时 分公司一年的利润L最大 最大值Q a 4 3 3 万元 满分指导 函数综合题的规范解答 典例 12分 2011 湖南高考 设函数f x x alnx a R 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个极值点x1和x2 记过点A x1 f x1 B x2 f x2 的直线的斜率为k 问 是否存在a 使得k 2 a 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由