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1、 决胜高考 专案突破 名师诊断 对点集训 考情报告 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 考向预测 数列一直是高考的重点与热点 由于它既具有函数特征 又能构成独特的递推关系 使得它既与中学数学其他部分知识 如 函数 方程 不等式 解析几何 二项式定理等有较紧密的联系 又有自己鲜明的特征 因此在高考中占有极其重要的地位 以考查数列的通项公式 前n项和及数列的基本性质为主要内容 在试卷中约占10分或12分 一个选择题和一个填空题 或一道解答题 小题一般为概念性问题 常用等差数列 等比数列的概念和性质来解决 属于中低档题 而大题的综合性较强 常从数列的递推关系入手 再转化为等差数列和等比数列中的求
2、通项或求和 考查学生数学思维能力和分析 建模 解 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 决问题的能力以及函数与方程的思想 转化与化归的思想 分类讨论的思想 复习时仍应当以基础知识为主 不要片面追求难度 数列可视为一种特殊的函数 因此可以用函数的观点来解决数列问题 知能诊断 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 2an 1 2an 3 n 2 n N 判断 an 是否为等差数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟 已知数列 an 的前n项和为Sn 且an 1 5Sn 3 a1 1 则 an 的通项公式
3、是 解析 由an 1 5Sn 3 得an 5Sn 1 3 n 2 两式相减得an 1 an 5an 即 6 n 2 由a1 1 得a2 2 6 故an 答案 an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 2012年3月北京市丰台区高三一模 设Sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且2a2 S3 a4 2成等差数列 则数列 的前5项和为 A 341 B C 1023 D 1024 解析 由2S3 2a2 a4 2 得q 2 则 的公比为4 S5 341 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 在公差不为0的等差数列 an 中 a1 a3 a7成等比数列 S7 35 求数
4、列通项an 解析 由S7 35 得 35 即2a1 6d 10 a4 5 又 a1a7 即 a4 d 2 a4 3d a4 3d 得d 1 故an a4 n 4 d n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 求数列 an 的公差 2 设Sn为数列 an 的前n项和 求Sn的最小值 并求出此时n的值 解析 1 由a8 a9 a11成等比数列知 a1 8d 2 a1 7d a1 10d 即16a1d 64d2 17a1d 70d2 整理得a1d 6d2 0 因为d 0 所以a1 6d 从而d 2 即数列 an 的公差为2 5 陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题 在公差不为0的等差
5、数列 an 中 a1 12 且a8 a9 a11成等比数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 法一 由 1 可知Sn 12n n n 1 n2 13n 因为n2 13n n 2 且n N 所以当n 6或7时 n2 13n有最小值 42 因此 Sn的最小值为 42 此时的n为6或7 法二 由 1 可知数列 an 的通项公式为an 2n 14 令an 0 得n 7 据数列 an 单调递增可知 其前6项均为负项 第7项为0 从第8项开始均为正项 所以S6 S7 且均为Sn的最小值 最小值为 42 此时的n为6或7 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 已知数列 an 是首项a1 的等
6、比数列 其前n项和Sn中S3 求数列 an 的通项公式 解析 若q 1 则S3 不符合题意 q 1 当q 1时 由得 an n 1 n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 东北四校2012届高三第一次高考模拟 已知 an 为等比数列 a1 1 a6 243 Sn为等差数列 bn 的前n项和 b1 3 S5 35 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 设Tn a1b1 a2b2 anbn 求Tn 解析 1 a6 a1q5 243 得q 3 an 3n 1 S5 35 b5 11 又b1 3 得bn 2n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 Tn 3 1 5 3 2n 1
7、 3n 2 2n 1 3n 1 3Tn 3 3 5 32 2n 1 3n 1 2n 1 3n 得 2Tn 3 2 3 32 3n 1 2n 1 3n 整理得 Tn n 3n 诊断参考 1 应用an与Sn的关系解题时 一般要分n 1和n 2来讨论 要注意验证能否统一到一个式子中 当a1不符合an Sn Sn 1 n 2 的表达式时 通项公式必须分段表示 注意隐含条件n 2 n N 要验证是不是从第一项开始 2 等差数列求Sn最值的结论为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 当a1 0 d 0时 若Sr最大 则应有 2 当a10时 若Sr最小 则应有 仅解不等式an 0是不正确的 仅解an
8、 1 0也是不正确的 3 等差 等比数列综合时 要分清谁是等差 谁是等比 灵活运用公式 等差an am n m d 等比an amqn m 使运算简便 尤其是求通项公式时 不一定求a1 可以利用已知求得am 等比数列不一定求q 求出q3或q2有时可以直接利用 减少运算量 在求等比数列前n项和时 注意分q 1 q 1两种情况讨论 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 用错位相减求和时注意 1 写出qSn的倒数第二项 以便相减 2 Sn qSn的第一项不要丢掉 3 Sn qSn的最后一项是减号 4 用公式求和时要注意项数 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 核心知识 一 等差 等比数列的
9、概念 判定 公式与性质 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 二 判断或证明数列是等差 或等比 的方法 1 定义法 验证an 1 an d 常数 或 q 常数 2 中项公式法 验证2an an m an m或 an m an m 3 通项公式法 1 数列 an 为等差数列 an An B A B为常数 n N 2 数列 an 为等比数列 an cqn c q均是不为0的常数 n N 三 求通项公式的常用方法 1 观察法 找到项与项数的关系 然后猜想检验 即得通项公式an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 利用前n项和与通项的关系 an 3 公
10、式法 利用等差 比 数列的通项公式 4 累加法 如an 1 an f n 累乘法 如 f n 5 转化法 1 an 1 Aan B A 0 A 1 可以通过待定系数法an 1 A an 求出 化为等比数列后 再求通项 2 an 1 can rn c 0 r 0 可以通过两边除以rn 1 转化为类型 1 求解 四 数列的常用求和方法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 数列求和要先研究数列的通项 根据通项选择方法 化归为基本数列求和 1 公式法 用等差 比 数列的求和公式 2 分组求和法 若cn an bn 则用分组求和法 3 错位相减法 若cn an bn an 是等差数列 bn 是等比数
11、列 则用错位相减法 4 裂项相消法 形如cn 其中 an 为等差数列 5 倒序相加法 若cn an m 0 n 即数列 cn 的通项公式是由一个组合数和等差数列通项公式组成 则一般采用 倒序相加法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 五 常用的结论 1 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 1 若a1 0 d 0 则当且仅当时 Sn取最大值 2 若a10 则当且仅当时 Sn取最小值 2 常用拆项公式 k n N 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 3 若 an 是等差数列 公差为d d 0 则 4 5 n n n 1 n 考点突破 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点一
12、 数列的概念与性质 数列的概念 性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容 一般出现在选择题 填空题或解答题的第一问 属于容易题或中档题 主要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解 1 广东省六校2012年2月高三第三次联考 等差数列 an 中 已知a3 5 a2 a5 12 an 29 则n为 A 13 B 14 C 15 D 16 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 2012年 新课标全国 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 A 7 B 5 C 5 D 7 分析 1 a2 a5不能用等差中项 故用基本量 又已知a3 所以a2 a5 a3 d a3 2
13、d 12 求得公差 结合an 29可解 2 要看清 an 为等比数列 所以a5a6 a4a7 然后用基本量表示 根据韦达定理构造方程 解方程得出a4 a7的值 或是解方程组 然后求出q3即可 后面直接用q3 减少计算量 解析 1 a2 a5 a3 d a3 2d 12 得d 2 an a3 n 3 d 29 得n 15 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由题意并根据等比数列的性质得a5a6 a4a7 8 又a4 a7 2 设a4 a7是方程x2 2x 8 0的两根 则解得或故q3 2或 当q3 2时 a1 a10 a7q3 7 同理可知当q3 时 a1 a10 7 故a1 a10 7
14、 故选D 答案 1 C 2 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 关于等差 等比数列的问题 首先应抓住a1 d q 通过列方程组来解 此方法具有极大的普遍性 需用心掌握 但有时运算量较大 熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算 运用an am n m d和an amqn m可减少运算量 方程思想 分类讨论思想是解决数列的常用思想方法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练1 1 等差数列 an 中 a4 10且a3 a6 a10成等比数列 则数列 an 前20项的和S20 2 山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试 等差数列 an 中 a4 a10 a16 30
15、 则a18 2a14的值为 解析 1 由a4 10和a3 a6 a10成等比数列得 即 解得或 故S20 200或330 2 由a4 a10 a16 30得a10 10 a18 2a14 a10 8d 2 a10 4d a10 10 答案 1 200或330 2 10 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中 已知数列 an 的通项为an n 1 n 1 1 下列表述正确的是 A 最大项为0 最小项为 B 最大项为0 最小项不存在 C 最大项不存在 最小项为 D 最大项为0 最小项为a4 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 设等差数列 a
16、n 的前n项和为Sn 若S4 10 S5 15 则a4的最大值为 分析 1 先求出数列的前四项 然后计算an 1 an的符号 从而确定数列的单调性 即可求出数列的最大项和最小项 2 根据S4 10 S5 15转化为基本量 减少参数 用一个参数的范围来求a4的范围 解析 1 a1 0 当n 1时 0 n 1 1 n 1 1 0 an最大项为a1 0 a2 2 1 2 1 1 a3 3 1 3 1 1 a4 4 1 4 1 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 an 1 an n n 1 n 1 n 1 1 n 1 当n 3时 an 1 an 0 n 3时 an 1 an 0 最小项为a3 故选A 2 等差数列 an 的前n项和为Sn 且S4 10 S5 15 即 a1 3 2d 3 2d d 1 a4 a1 2d d 3 d 3 1 4 故a4的最大值为4 答案 1 A 2 4 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 1 本题主要考查了数列的函数特性 同时考查了计算能力 属于中档题 求数列的最大 最小项 一般可以先研究数列的单调性 可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数
