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1、第二节 直线 平面平行的判定及其性质 第二章 点 直线 平面之间的位置关系 例2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 略解 变题1 如果球O和这个正方体的六个面都相切 则有S 变题2 如果球O和这个正方体的各条棱都相切 则有S 关键 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 知识点一 直线与平面平行的判定 a b 复习引入 直线与平面有什么样的位置关系 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 3 直线与平
2、面平行 没有公共点 a a a A 问题1 观察开门与关门 门的两边是什么位置关系 当门绕着一边转动时 此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系 感知定理 观察 问题2 请同学门将一本书平放在桌面上 翻动书的封面 观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系 桌面内有与l平行的直线吗 动手体验 问题3 根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行 探究归纳 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 符号表示 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 直线与平面平行的判定定理 a b 线线平行 线面平行 将线面平行转化
3、为线线平行 解读定理 将空间问题转化为平面问题 三个条件不能少 例1 如图 长方体的六个面中 1 与AB平行的平面是 2 与平行的平面是 3 与AD平行的平面是 C B A D 分析 OF是 ABE的中位线 所以得到AB OF A B C D F O E 连结OF 例2 如图 四棱锥A DBCE中 O为底面正方形DBCE对角线的交点 F为AE的中点 判断AB与平面DCF的位置关系 并说明理由 例3 如图 空间四边形ABCD中 E F分别是AB AD的中点 求证 EF 平面BCD 分析 要证明线面平行只需证明线线平行 即在平面BCD内找一条直线平行于EF 由已知的条件怎样找这条直线 A B C
4、D E F 证明 EF BD EF 平面BCD EF平面BCD 连接BD 已知 空间四边形ABCD中 E F分别是AB AD的中点 求证 EF 平面BCD A B C D E F 注意 证线面平行三个条件缺一不可 证明步骤 第一步 证线线平行 第二步 证线面平行 如图 在空间四边形ABCD中 E F分别为AB AD上的点 若 则EF与平面BCD的位置关系是 EF 平面BCD A B C D E F 变式探究 平行线的判定定理 分析 要证BD1 平面AEC 即要在平面AEC内找一条直线与BD1平行 根据已知条件应该怎样考虑辅助线 例 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E为DD1的中点 求
5、证 BD1 平面AEC E D1 C1 B1 A1 D C B A O 有中点再找中点得中位线 如图 ABCD为平行四边形 M N分别是AB PC的中点 求证MN 面PAD H 分析 关键在平面PAD内找MN平行线 有中点再中点找中点 中点和中点相连得中位线 从而得到平行线 变式探究 1 要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定理 2 能够运用定理的条件要满足三个条件 3 运用定理的关键找平行线 找平行线又经常会用到三角形中位线 梯形的中位线 平行四边形 平行线的判定定理 平行公理 一般题中有中点再找中点 有分点再找分点得平行关系 一线面内 一线面外 两线平行 规律总结 4 数学思想方法
6、转化化归的思想方法 将线面平行转化为线线平行 将空间问题转化为平面问题 C1 A C B1 B M N A1 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 M N分别是BC和A1B1的中点 求证 MN 平面AA1C1C F 证明 设A1C1中点为F 连结NF FC N为A1B1中点 M是BC的中点 NFCM为平行四边形 故MN CF 例 MN 平面AA1C1C 大图 例 在长方体ABCD A1B1C1D1中 1 作出过直线AC且与直线BD1平行的截面 并说明理由 2 设E F分别是A1B和B1C的中点 求证 直线EF 平面ABCD 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 侧面对角线AB1 BC1上
7、分别有两点E F 且B1E C1F 求证 EF 平面ABCD 分析 根据直线与平面平行的判定定理或平面与平面平行的性质定理来证明 证明分别过E F作EM AB于M FN BC于N 连接MN BB1 平面ABCD BB1 AB BB1 BC EM BB1 FN BB1 EM FN 又 B1E C1F EM FN 故四边形MNFE是平行四边形 EF MN 又MN平面ABCDEF 平面ABCD 所以EF 平面ABCD 例 如图所示 已知S是正三角形ABC所在平面外的一点 且SA SB SC SG为 SAB上的高 D E F分别是AC BC SC的中点 试判断SG与平面DEF的位置关系 并给予证明 解
8、SG 平面DEF 证明如下 连接CG交DE于点H 连接FH 如图所示 DE是 ABC的中位线 DE AB 在 ACG中 D是AC的中点 且DH AG H为CG的中点 FH是 SCG的中位线 FH SG 又SG 平面DEF FH 平面DEF SG 平面DEF 方法二 EF为 SBC的中位线 EF SB EF 平面SAB SB 平面SAB EF 平面SAB 同理可证 DF 平面SAB EF DF F 平面SAB 平面DEF 又SG 平面SAB SG 平面DEF 23 知识点二 直线与平面平行的性质 24 一条直线和一个平面有三种位置关系 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线与平面相交 有且只
9、有一个公共点 3 直线与平面平行 没有公共点 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线与这个平面平行 简记 线线平行 线面平行 思考 如果一条直线与平面平行 那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行 由直线与平面平行可知 这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 所以它们只能平行或异面 26 请观察长方体中A1B1 AB和平面ABB1A1 平面ABCD的位置关系 你能从中得到什么启发 观察思考 A B C D A1 B1 C1 D1 27 b a 证明 28 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那
10、么这条直线和交线平行 b a 注意 1 定理三个条件缺一不可 2 简记 线面平行 线线平行 29 例 设平面 两两相交 且 若 求证 转化思想 线线平行 线面平行 线线平行 证明 30 2 线线平行 线面平行 1 直线与平面平行的性质定理 总结 31 例 32 1 2 证明 33 证明思路是 线 线 线 面 线 线 线 面 1 2 线 面 34 例 分析 证法1 证法2 35 证法2 利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质 略写 证法1 36 我们今天有哪些收获 还有什么疑惑 2 直线和平面平行的性质定理 3 直线和平面平行的判定定理和性质定理可以进行 线线平行 和 线面平行 的
11、相互转化 实现空间问题平面化 小结 1 直线和平面平行的判定定理 37 38 A 3 39 D 4 例 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB M AC N FB 且AM FN 求证 MN 平面BCE 思路点拨 方法一 过M作MP BC 过N作NQ BE P Q为垂足 如图1 连结PQ MP AB NQ AB MP NQ 又NQ BN CM MP 四边形MPQN是平行四边形 MN PQ 又PQ 平面BCE 而MN 平面BCE MN 平面BCE 方法二 过M作MG BC 交AB于G 如图2 连结NG MG BC BC 平面BCE MG 平面BCE MG 平面BCE 又 AM FN
12、 AC BF GN AF BE 同样可证明GN 平面BCE MG NG G 平面MNG 平面BCE 又MN 平面MNG MN 平面BCE 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 侧面对角线AB1 BC1上分别有两点M N 且B1M C1N 求证MN 平面ABCD 证明 方法一 分别过M N作MM AB于M NN BC于N 连结M N BB1 平面ABCD BB1 AB BB1 BC MM BB1 NN BB1 MM NN 又B1M C1N MM NN 故四边形MM N N是平行四边形 MN M N 又M N 平面ABCD MN 平面ABCD MN 平面ABCD 方法二 过M作MG AB交BB
13、1于G 连接GN 则 B1M C1N B1A C1B NG B1C1 BC 又MG NG G AB BC B 平面MNG 平面ABCD 又MN 平面MNG MN 平面ABCD 1 平行 2 相交 复习回顾 平面与平面有几种位置关系 分别是什么 知识点三 平面与平面平行的判定 认识1 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行 认识2 如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行 那么这两个平面平行 对面面平行的认识 1 中的平面 不一定平行 如图 借助长方体模型 平面ABCD中直线AD平行平面BCC B 但平面ABCD与平面BCC B 不平行 探究 探究 如果平面 内的
14、两条直线是相交的直线 两个平面会不会一定平行 如果平面 内的两条直线是平行直线 平面 与平面 不一定平行 如图 AD PQ AD 平面BCC B PQ BCC B 但平面ABCD与平面BCC B 不平行 平面与平面平行的判定定理 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 简述为 线面平行 面面平行 线不在多 重在相交 直线的条数不是关键 直线相交才是关键 判定定理剖析 判定定理 一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面 那么这两个平面平行 直线 符号语言 证题思路 要证明两平面平行 关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面 练习 判断下列命题正确与否 1
15、如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 2 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 4 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 5 若平面内的两条直线分别与平面平行 则与平行 6 若平面内有无数条直线分别与平面平行 则与平行 7 平行于同一直线的两个平面平行 8 两个平面分别经过两条平行直线 这两个平面平行 9 过已知平面外一条直线 必能作出与已知平面平行的平面 10 与同一条直线所成角相等两个平面平行 11 垂直于同一条直线的两个平面平行 12 平行于同
16、一平面的两个平面平行 例 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC与C1D1的中点 求证 面EFG 平面BDD1B1 G 分析 由FG B1D1易得FG 平面BDD1B1同理GE 平面BDD1B1 FG GE G故得面EFG 平面BDD1B1 证题思路 要证明两平面平行 关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面 例 已知正方体ABCD A1B1C1D1 求证 平面AB1D1 平面C1BD 分析 在四边形ABC1D1中 AB C1D1且AB C1D1故四边形ABC1D1为平行四边形 即AD1 BC1 思路 只要证明一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行 证明 ABCD A1B1C1D1是正方体 D1C1 A1B1 D1C1 A1B1 AB A1B1 AB A1B1 D1C1 AB D1C1 AB 四边形D1C1BA为平行四边形 D1A C1B 又D1A平面C1BD C1B平面C1BD D1A 平面C1BD 同理D1B1 平面C1BD 又D1AD1B1 D1 D1A平面AB1D1 D1B1平面AB1D1 平面AB1D1 平面C1BD 第一步 在一
