《2020届湖南省高三第六次月考数学（理）试题（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届湖南省高三第六次月考数学（理）试题（含答案解析）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届湖南省长沙市第一中学高三第六次月考数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先根据对数不等式求解集合再求交集即可.【详解】,故.故选：D【点睛】本题主要考查了对数不等式的求解与交集的基本运算,属于基础题型.2已知数列是等差数列，且，则的值为（ ）.ABCD【答案】A【解析】试题分析：，所以【考点】1、等差数列；2、三角函数求值.3如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A7B8C9D10【答案】C【解析】根据流程图可知
2、该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数根据茎叶图可得超过90分的次数为9.故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题4设是非零向量,则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分与必要条件的概念分析即可.【详解】由题, 则.故“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查了向量模长相等的运用方法,需要两边平方进行化简求解分析.属于基础题型.5已知
3、(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则aA4B3C2D1【答案】D【解析】【详解】由题意知：，解得，故选D.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.6若函数（其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论【详解】根据
4、已知函数其中，的图象过点，可得，解得：再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题7如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（立水即略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A62B67C72D82【答案】B【解析】根据题意可设大正
5、方形的边长为,再根据几何概型的方法列式求解即可.【详解】设大正方形的边长为,则小正方形的边长为,向图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计）,设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为,则,解得.故选：B【点睛】本题主要考查了利用几何概型的思想方法求解面积的比值的问题.属于基础题型.8某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.【详解】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率,其中学生丙第一个出场的概率,所
6、以所求概率为.故选：A【点睛】本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.9已知偶函数的定义域为R，当时，函数，若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】画出的图像,先求解,再数形结合列出关于的不等式求解即可.【详解】由题意画出的图像如图所示,由解得,由函数有且仅有6个零点知,解得,故选：B.【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.10已知点与点在直线的两侧，给出下列命题： ；当时，有最小值，无最大值；存在正实数，使得恒成立；当且，时，的取值范围
7、是其中正确的命题是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据平面解析几何中的性质与斜率、点到点的距离等逐个分析即可.【详解】由、在直线的两侧知,即,错；表示原点与点连线的斜率,由点所在区域及知既没有最大值,也没有最小值,错；,由大于原点到直线的距离知,存在正实数,使得恒成立,对；由且,知,表示点与点所在直线的斜率,由图可知或,对,故选：D.【点睛】本题主要考查了平面解析几何中的直线有关问题,包括斜率与点到点之间的距离的几何意义等.属于中等题型.11设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD3【答案】B【解析】根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解
8、,从而得到,进而求得离心率即可.【详解】因为是双曲线上一点,所以,又,所以,所以.又因为,所以有,即,即解得：（舍去）,或,所以,所以,故选：B.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求解基本量之间的关系,进而求得离心率的方法,重点在于根据题中所给的条件列出等式进行化简,属于中等题型.12已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间1，2上，不等式恒成立则实数m（ ）A有最大值B有最大值eC有最小值eD有最小值【答案】A【解析】求f（x）导数，利用导数的几何意义可得a和b的值，求g（x）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式即可得m的最值【详解】，又点在直线上，-1=2 +b+，
9、b1，g（x）exx2+2，g（x）ex2x，g（x）ex2，当x1，2时，g（x）g（1）e20，g（x）在1，2上单调递增，g（x）g（1）e20，g（x）在1，2上单调递增，解得或eme+1，m的最大值为e+1，无最小值，故选A.【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题二、填空题13若复数满足，则的虚部为_.【答案】.【解析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.14过抛物线的焦点且斜率为2的直线与交于，两点
10、，以为直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为2，则的值为_.【答案】4.【解析】设,中点为分析可得以为直径的圆与的准线相切.再利用点差法求点的纵坐标即可求得的值.【详解】设,中点为,则,故半径为,又中点到准线的距离为.故以为直径的圆与的准线相切,且为切点. 故,即又,又直线斜率为2, ,故.故答案为：4【点睛】本题主要考查了点差法求解弦中点的问题,同时也考查了焦点弦与准线的性质.属于中等题型.15如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，则的最小值为_.【答案】【解析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【详解】根
11、据条件：,又,.又,三点共线,.,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.16已知球与棱长为的正方体的所有棱相切,点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是_.【答案】.【解析】由题可得球的半径,再根据运动规律与半径的大小进行分析即可.【详解】设与正方体的各棱都相切的球的球心为,其半径为,正方体的外接球为,则三角形的外接圆是正方体的外接球为的一个小圆,其半径.因为点在与正方体的各棱都相切的球面上运动,点在三角形的外接圆上运动,所以线段长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体
12、的各棱都相切的球的半径,线段长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径,由此可得线段的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查了正方体外接球与相切球的性质运用,需要根据题意判定取最值时线段长度与球半径的关系.属于中等题型.三、解答题17在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记（1）求函数的值域（2）在中，角的对边分别为若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】(1)根据三角函数值的定义分别计算再利用三角函数恒等变换公式求解即可.(2)由化简求得,再利用正弦定理以及即可求得,继而根据余弦定理
13、化简得再求面积即可.【详解】（1）,函数的值域是.（2）由知,.,.由,得.由余弦定理,得,.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换公式运用求三角函数范围的问题与利用正余弦定理与面积公式解三角形的方法等.属于中等题型.18如图，四棱锥中，平面，为的中点，为的中点， ，接交于（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】(1)根据全等中角度的关系可得,再证明即可证明平面(2) 以点为坐标原点建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解二面角的方法求解即可.【详解】（1）在中,因为是中点,所以,故,因为,所以,从而有,故,又因为,所以.又平面,所以,又,平面,故平面.
14、（2）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则,故,设平面的法向量,则解得即.设平面的法向量,则解得即.设二面角的平面角为,则.又由图可知,为钝角,故.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与利用空间直角坐标系求解面面角的问题.需要根据题意找到平面几何中的边角关系证明垂直并建立空间直角坐标系.属于难题.19在中，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（）求动点的轨迹的方程;（）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线 关于直线对称，求面积的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】（I）利用正弦定理化简已知条件，根据椭圆的定义求得轨迹方程.（II）设出直线方程为，代入的轨迹方程，写出判别式和韦达定理，根据直线关于
