《2019-2020学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期期中数学试题（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期期中数学试题（含答案解析）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1设，分别是平面，的法向量，若，则实数t的值是（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】根据两平面垂直则两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为所以.解得故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何证明中的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2设点P为椭圆上一点，则点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形周长为（ ）A14B15C16D17【答案】C【解析】根据椭圆的定义求解.【详解】周长.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3把一个体积为，表面涂有红色的正方体木块锯成64
2、个体积为的小正方体，从这64个小正方体中随机的抽取出一块，则这1块至少有1面涂有红色的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为表面涂色，所以很容易得到不含颜色的小正方体个数为个，求出其概率，再利用对立事件的概率求得有颜色的概率.【详解】因为不含颜色的小正方体个数为个，所以有颜色的概率是.故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型及对立事件概率的求法，还考查了直观想象的能力，属于基础题.4若双曲线的一条渐近线的斜率是，则实数k的值为（ ）A4BCD【答案】A【解析】根据双曲线方程的特点，确定焦点的位置再求解.【详解】因为双曲线的焦点在x轴上所以其渐近线方程为所以所以.故选：A【点睛】本题主要考查了
3、双曲线及其渐近线方程，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5已知空间三点坐标分别为，点在平面ABC内，则实数x的值为（ ）A1BC0D【答案】A【解析】先由点的坐标确定三个向量，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.【详解】因为，所以，因为空间三点坐标分别为，点在平面ABC内所以设，则有.解得故选：A【点睛】本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6已知双曲线的左右顶点分别是，M是双曲线上任意一点，若直线，的斜率之积为5，则该双曲线的离心率为（ ）A3BC6D【答案】D【解析】根据双曲线中的结论求解.【详解】因为双曲线的左右顶点分别是，M是双曲线上任意一点，设所以 .
4、所以所以故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线中的常见结论，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2m时，水面宽为2m，若水面下降4m，则水面宽度为（ ）ABCD【答案】B【解析】先以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，设抛物线方程为，将点代入求得抛物线的方程，再将代入抛物线方程求解.【详解】以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，设抛物线方程为，因为点在抛物线上代入可得，所以抛物线方程为又因为，所以则水面宽为.故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线方程的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则A1BCD2
5、【答案】B【解析】因为，所以，从而，则椭圆方程为依题意可得直线方程为，联立可得设坐标分别为，则因为，所以，从而有再由可得，根据椭圆第二定义可得，即由可得，所以，则，解得因为，所以，故选B9已知F是抛物线的焦点，过点F作倾斜角为的直线与抛物线交于P，Q两点，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先由题意得直线方程为，与联立可得，解得，再求得，则由两角和的正切求得，再用同角三角函数的商数关系求得.【详解】根据题意直线方程为，联立可得，解得，则，所以，所以所以.故选：D【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多选题10已知点P是平行四边形A
6、BCD所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）ABC是平面ABCD的一个法向量D【答案】ABC【解析】A，B选项，可运算，是否为零来判断；C选项，根据法向量的定义，可运算是否成立来判断；D选项，得到,，再验证是否满足来判断。【详解】因为，所以A，B正确，因为所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，,不满足，则D不正确故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（ ）A曲线C关于坐标原点对称B曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C曲线
7、C上任意一点到原点的距离最小值为1D曲线C所围成的区域的面积小于4【答案】AC【解析】选项A，用代替验证；选项B，由，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，再列举来判断；选项C，转化为，当点为时能取等号；选项D，根据题意，可分析，时的情况，此时可化，令，由，得函数有两个零点，再根据，得到两个零点一个小于0，一个大于1，所以得到结论是时，同理时，所以第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，面积一定大于4。【详解】用代替曲线不变，则关于原点对称，故A正确；，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，则可得整点有8个分别为，故B错误；因为，当点为时取等号，故C正确；令，可得，令，因为
8、，所以函数有两个零点，又因为，所以两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线C上当时，同理当时，即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，由图象的对称性可得面积应大于4，故D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了曲线与方程及其相关性质，还考查了理解辨析创新应用的能力，属于中档题.三、填空题12在正方体中，点O是的中点，且，则的值为_.【答案】【解析】在正文体中易得，再结合，利用待定系数法求解.【详解】在正方体中得，又因为所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了空间向量的表示，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.13已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为_.【答案】2个【解析】根据直线的
9、方程，易得直线过定点，又因为定点在椭圆上，且，则直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交.【详解】因为直线方程为所以直线过定点，定点在椭圆上，又因为，所以直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点为2个.故答案为：2个【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为_.【答案】【解析】根据直线过右焦点，分斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率存在时，设直线的方程为与双曲线方程联立，消去y 得由韦达定理得，再用第二定义得求解；当直线的斜率不存在时，由双曲线的第一
10、定义得，所以.【详解】双曲线的右焦点为 当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入双曲线方程，消去y 得设 由韦达定理得根据双曲线的第二定义得：当直线的斜率不存在时，根据双曲线的第一定义得：综上：的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与双曲线位置关系，双曲线的第二定义，第一定义，还考查了分类讨论，转化化归，运算求解的能力，属于中档题.四、解答题15从4名男生和2名女生中随机选出2人参加演讲比赛.（1）求所选2人恰有1名男生的概率；（2）求所选2人中至少有1名女生的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）先得出从4名男生和2名女生中随机选出2人参加比赛的方法数，再求所选2人恰有1名男生的方法
11、数，用古典概型的概率求解.（2）先求选2人中没有女生的概率.，再利用对事件的概率求所选2人中至少有1名女生的概率.【详解】（1）从6人中选2有共有 种所选2人恰有1名男生有种所选2人恰有1名男生的概率；（2）所选2人中没有女生的概率所选2人中至少有1名女生的概率.【点睛】本题主要考查了古典概型，对立事件概型的求法，还考查运算求解的能力，属于基础题.16在长方体中，E为的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若F为BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先以为原点以分别为轴，建立空间直角坐标系，求得，得到，再代入公式.求解.（2）再求，设平面的一个法向量为，
12、有可得一个法向量为，再代入公式.求解.【详解】（1）以为原点以分别为轴，建立空间直角坐标系可得，则，所以；（2），设平面的一个法向量为则有可得法向量为，所以.【点睛】本题主要考查了空向量在立体几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17若椭圆经过点离心率为，过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求实数a，b的值；（2）若，求直线AB的方程.【答案】（1），（2）【解析】（1）根据离心率为，可得，将点坐标带入椭圆方程可得，.（2）分直线和x轴平行和不平行两种情况，当直线和x轴平行时，不满足题意，当直线和x轴不平行时，设直线为，与椭圆方程联立得，设，再代入弦长公式求解.【详
13、解】（1）因为离心率为，可得，将点代入可得，所以椭圆方程为；（2）当直线和x轴平行时，直线，不满足题意，故直线和x轴不平行，设直线为，联立可得，设，则，解得所以直线方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，又平面ABD（1）若，求证：；（2）若二面角的大小为，求线段AE的长.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据图形特征，先以为原点以分别为轴，可得，满足，所以；（2）设，求得平面ABE（平面xOz）的一个法向量为；再根据，求得平面BED的一个法向量为，再由求解.【
14、详解】（1）以为原点以分别为轴，所以，因为所以；（2）设，易知平面ABE（平面xOz）的一个法向量为，设平面BED的一个法向量为则解得，则所以.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19设点A是抛物线上到直线的距离最短的点，点B是抛物线上异于点A的一点，直线AB与l交于P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点C.（1）求点A的坐标；（2）求证：直线BC过定点；（3）求面积的最小值.【答案】（1）（2）见解析.（3）【解析】（1）根据抛物线方程，设，得其到直线的距离，再用二次函数求解.（2）设，表示直线的坶与联立，求得，则，可得直线的直线方程，整理得：可得定点；（3）根据直线的过定点，设其方程为，与
