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1、 第五章 5向心加速度 学习目标1 理解向心加速度的概念 2 知道向心加速度和线速度 角速度的关系式 3 能够运用向心加速度公式求解有关问题 内容索引 自主预习梳理 重点知识探究 当堂达标检测 自主预习梳理 1 定义 任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向 这个加速度叫做向心加速度 2 向心加速度的作用 向心加速度的方向总是与速度方向 故向心加速度的作用只改变速度的 对速度的无影响 一 向心加速度的方向 圆心 垂直 大小 方向 1 向心加速度公式 2 向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动 也适用于非匀速圆周运动 二 向心加速度的大小 2r v 1 判断下列说法的正误 1 匀速圆周运动的加速度的
2、方向始终不变 2 匀速圆周运动是匀变速运动 3 匀速圆周运动的加速度的大小不变 4 根据a 知加速度a与半径r成反比 5 根据a 2r知加速度a与半径r成正比 2 在长0 2m的细绳的一端系一小球 绳的另一端固定在水平桌面上 使小球以0 6m s的速度在桌面上做匀速圆周运动 则小球运动的角速度为 向心加速度为 答案 3rad s 1 8m s2 解析 重点知识探究 一 向心加速度及其方向 如图1甲所示 表示地球绕太阳做匀速圆周运动 近似的 如图乙所示 表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引 绕桌面上的图钉做匀速圆周运动 1 在匀速圆周运动过程中 地球 小球的运动状态发生变化吗 若变化 变化的原因
3、是什么 答案 答案地球和小球的速度方向不断发生变化 所以运动状态发生变化 运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用 图1 2 地球受到的力沿什么方向 小球受到几个力的作用 合力沿什么方向 答案地球受到太阳的引力作用 方向沿半径指向圆心 小球受到重力 支持力 线的拉力作用 合力等于线的拉力 方向沿半径指向圆心 3 地球和小球的加速度方向变化吗 匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢 答案物体的加速度跟它所受合力方向一致 所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心 即加速度方向是变化的 匀速圆周运动是一种变加速曲线运动 答案 对向心加速度及方向的理解1 向心加速度的方向 总指向圆心 方向时刻改变 2
4、 向心加速度的作用 向心加速度的方向总是与速度方向垂直 故向心加速度的作用只改变速度的方向 对速度的大小无影响 3 圆周运动的性质 不论向心加速度an的大小是否变化 其方向时刻改变 所以圆周运动的加速度时刻发生变化 圆周运动是变加速曲线运动 例1下列关于向心加速度的说法中正确的是A 向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B 向心加速度描述线速度方向变化的快慢C 在匀速圆周运动中 向心加速度是恒定的D 匀速圆周运动是匀变速曲线运动 答案 解析 解析匀速圆周运动中速率不变 向心加速度只改变速度的方向 A错 B正确 向心加速度的大小不变 方向时刻变化 故C D错误 二 向心加速度的大小 1 匀
5、速圆周运动的速度方向不断发生变化 如图2所示 经过 t时间 线速度由vA变为vB 圆周的半径为r 试根据加速度的定义式推导向心加速度大小的公式 答案 图2 答案如图 由于A点的速度vA方向垂直于半径r B点的速度vB方向垂直于另一条半径r 所以 AOB CBD 故等腰 AOB和 CBD相似 答案 2 结合v r推导可得向心加速度与角速度关系的表达式为 an 3 有人说 根据可知 向心加速度与半径成反比 根据an 2r可知 向心加速度与半径成正比 这是矛盾的 你认为呢 答案不矛盾 说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下 说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下 所以二者并不矛盾 2
6、 向心加速度与半径的关系 如图3所示 图3 3 向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动 1 物体做非匀速圆周运动时 加速度不是指向圆心 但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量 其中指向圆心方向的分量就是向心加速度 此时向心加速度仍满足 2 无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动 向心加速度都指向圆心 例2如图4所示 一球体绕轴O1O2以角速度 匀速旋转 A B为球体上两点 下列几种说法中正确的是A A B两点具有相同的角速度B A B两点具有相同的线速度C A B两点的向心加速度的方向都指向球心D A B两点的向心加速度之比为 解析 答案 图4 解析A B为球体上两点 因此 A B两点的
7、角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同 A对 如图所示 A以P为圆心做圆周运动 B以Q为圆心做圆周运动 因此 A B两点的向心加速度方向分别指向P Q C错 设球的半径为R 则A运动的半径rA Rsin60 B运动的半径rB Rsin30 例3如图5所示 O1为皮带传动的主动轮的轴心 主动轮半径为r1 O2为从动轮的轴心 从动轮半径为r2 r3为固定在从动轮上的小轮半径 已知r2 2r1 r3 1 5r1 A B C分别是三个轮边缘上的点 则点A B C的向心加速度之比是 假设皮带不打滑 A 1 2 3B 2 4 3C 8 4 3D 3 6 2 解析 答案 图5 解析因为皮带不打滑 A点与B
8、点的线速度大小相同 都等于皮带运动的速率 根据向心加速度公式 可得aA aB r2 r1 2 1 由于B C是固定在同一个轮上的两点 所以它们的角速度相同 根据向心加速度公式an r 2 可得aB aC r2 r3 2 1 5 由此得aA aB aC 8 4 3 故选C 讨论圆周运动的向心加速度与线速度 角速度 半径的关系 可以分为两类问题 1 皮带传动问题 两轮边缘线速度大小相等 常选择公式 2 同轴转动问题 各点角速度相等 常选择公式an 2r 针对训练如图6所示 压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍 压路机匀速行驶时 大轮边缘上A点的向心加速度是12cm s2 那么小轮边缘上B点的向心加
9、速度是多少 大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少 解析 图6 答案 答案aB 0 24m s2aC 0 04m s2 解析大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等 当堂达标检测 解析向心加速度的方向沿半径指向圆心 速度方向沿圆周的切线方向 所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直 且方向在不断改变 物体做匀速圆周运动时 只具有向心加速度 加速度方向始终指向圆心 非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心 故选A D 1 向心加速度的概念 多选 关于向心加速度 以下说法中正确的是A 向心加速度的方向始终与速度方向垂直B 向心加速度的方向保持不变C 物体做圆周运动时的加速度方
10、向始终指向圆心D 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 1 2 3 4 解析 答案 2 向心加速度公式 关于质点的匀速圆周运动 下列说法中正确的是A 由an 可知 an与r成反比B 由an 2r可知 an与r成正比C 由v r可知 与r成反比D 由 2 f可知 与f成正比 解析 答案 解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度 角速度 半径有关 但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出 当线速度一定时 向心加速度与半径成反比 当角速度一定时 向心加速度与半径成正比 对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论 正确答案为D 1 2 3 4 3 传动装置中的向心加速度
11、如图7所示 两轮压紧 通过摩擦传动 不打滑 已知大轮半径是小轮半径的2倍 E为大轮半径的中点 C D分别是大轮和小轮边缘上的一点 则E C D三点向心加速度大小关系正确的是A anC anD 2anEB anC 2anD 2anE 答案 图7 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 4 向心加速度的计算 滑板运动是深受青少年喜爱的运动 如图8所示 某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 0m的圆弧轨道 该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接 运动员滑到C点时的速度大小为10m s 求他到达C点前 后瞬间的加速度 不计各种阻力 解析 图8 答案 答案50m s2 方向竖直向上0 1 2 3 4 解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动 方向在该位置指向圆心 即竖直向上 运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动 加速度为0 1 2 3 4
