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1、.基础板块1、路程问题，这类问题分为相遇问题、追及问题、流水问题相遇问题要把握的核心是“速度和”的问题，即一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:(1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程(2) 全程= (甲的速度+乙的速度) 相遇时间= 速度和相遇时间例1:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍
2、然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。【解】142（5-4）5=40（千米）这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。但在实际问题中、两人可能在不同的时间出发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常复杂,要小心审题,耐心推敲. 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同
3、时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。例2:上午9时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行300米;弟弟步行、每分钟行70米.小宇到达学校后,呆了30分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分.你知道从家到学校有多远吗?虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解
4、.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度所走的时间加上弟弟的步行速度所走的时间解2从9点到10点10分,共有70分钟,因为小宇呆了30分钟所以小宇走了40分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了70分钟.答:从家到学校距离8450米.例3:有甲,乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长200米.而实际上乙列车没有停,它的速度是24米秒,也就相
5、当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为50米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和.例4:田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒.已知货车车长180米,求货车的速度?田田坐在列车上,货车用6秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时6秒.由速度和=全程/相遇时间,可求田田与货车的速度和,田田的速度即列车的速度.那只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度,此问题可解.例5（用比例关系）学校田径场的环形跑道周
6、长为400米，甲、乙两人同时从跑道上的A点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑26又2/3秒第一次回到A点，乙再跑1分钟也第一次回到A点，求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是X 由题意得知，乙开始X秒所行的距离甲行了：26又2/3秒 那么甲乙的速度比是：X：80/3=3X：80 甲开始X秒所行的距离乙行了60秒， 即甲乙的速度比也是：60：X 所以有：3X：80=60：X X=40秒 那么甲乙的速度比是：60：40=3：2 又甲乙的速度和是：400/40=10米/秒 所以甲的速度是：10*3/3+2=6米/秒，乙的速度是：10*2/5=4米/秒。追及问题要把握的核心是“速度
7、差”的问题，即A走的路程减去B走的路程等于速度差*追及时间例1：甲、乙两人连续跑步，若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙，若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？A.15 B.20 C.25 D.30【答案】C。解析：甲乙的速度差为126=2米/秒，则乙的速度为252=5米/秒，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距59210=25米。例2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间? 分析 此
8、题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在 顺水中的速度是船速+水速水壶飘流的速度只等于水速。 解：路程差船速=追及时间 24=05（小时） 答：他们二人追回水壶需用05小时。 流水问题，只需记住以下结论：船速=（顺水速度+逆水速度）除以2，水速=（顺水速度逆水速度）除以2.当然题目不会单纯明显的考你相遇、追及、流水问题，存在许多变形。例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一
9、般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。解：顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时），甲乙两地路程：188=144（千米），从乙地到甲地的逆水
10、速度：153=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：1441212（小时）。答：从乙地返回甲地需要12小时。例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。解：轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20（小时），顺流航行的时间：（355）
11、2=15（小时），轮船逆流速度：36020=18（千米/小时），顺流速度：36015=24（千米/小时），水速：（2418）2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12315（千米/小时），帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。 例4 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：（2005年中央真题） A2.5：1 B3：1 C3.5：1 D4：1 解析1：典型流水问题。如果设逆水速度为V，
12、设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程： 21/KV+4/V=12/KV+7/V 将V约掉，解得K=3 解析2，推荐。注意一个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺流少行了9km而节约的时间与逆流多行的3km所花的时间抵消了。两者时间相等。时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为 21-12/7-4=3:1 例5 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：（2005年中央真题） A80级 B100级 C120级 D140
13、级 解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下， （X+2）40=（X+3/2）50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）40=100 关于路程问题整体的思维方法例1 C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2）。这道题如果从常规
14、思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距96千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王小张和走了3个全程，所花的时间是803=240（分）。可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：803-80-40=120（分）。2、工程问题，解题时，要抓住工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率工作时间，单独的工作效率或合作的工作效率是解答工程问题的关键。【例1】一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。如果按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作
15、需要几小时？【解析】设这件工作为“1”，则甲、乙的工作效率分别是1/12和1/9。按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，甲、乙各工作1小时，完成这件工作的7/36，甲、乙这样轮流进行了5次，即10小时后，完成了工作的35/36，还剩下这件工作的1/36，剩下的工作由甲来完成，还需要1/3小时，因此完成这件工作需要31/3小时。【例2】一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时全部完成。那么，甲只打了几小时？【解析】设打这份稿件的总工作量是“1”，则甲、乙、丙三人的工作效率分别1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后，其
