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1、 . 运筹学习题答案第一章(39页)1.1用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。(1)max 5+1050+14,0(2)min z=+1.5+33+2,0(3)max z=2+2-1-0.5+2,0(4)max z=+-03-3,0解:(1)(图略)有唯一可行解,max z=14(2)(图略)有唯一可行解,min z=9/4(3)(图略)无界解(4)(图略)无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型,并列出初始单纯形表。(1)min z=-3+4-2+54-+2-=-2+3-14-2+3-+22,0,无约束(2)max 0 (i=1n;
2、 k=1,m)(1)解:设z=-,=-, ,0标准型:Max =3-4+2-5(-)+0+0-M-Ms. t . -4+-2+-+=2+3-+=14-2+3-+2-2-+=2,0 初始单纯形表:3-42-5500-M-Mb-M2-41-21-100012014113-11100014-M2-23-12-20-1102/3-4M3-6M4M-42-3M3M-55-3M0-M00(2)解:加入人工变量,得:Max s=(1/)-M-M-.-Ms.t. (i=1,2,3,n)0, 0, (i=1,2,3n; k=1,2.,m)M是任意正整数初始单纯形表:-M-M-Mb-M110011000-M101
3、00000-M1001000111-snM0001.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。指出哪些是基可行解,并代入目标函数,确定最优解。(1)max z=2+3+4+7 2+3-4=8 -2+6-7=-3,0(2)max z=5-2+3-6+2+3+4=72+2=30(1)解:系数矩阵A是:令A=(,)与线形无关,以(,)为基,为基变量。有 2+3=8+4 -2=-3-6+7令非基变量,=0解得:=1;=2基解=(1,2,0,0为可行解=8同理,以(,)为基,基解=(45/13,0,-14/13,0是非可行解;以(,)为基,基解=(34/5,0,0,7/5是可行解,=117/5
4、;以(,)为基,基解=(0,45/16,7/16,0是可行解,=163/16;以(,)为基,基解=(0,68/29,0,-7/29是非可行解;以(,)为基,基解=(0,0,-68/31,-45/31是非可行解;最大值为=117/5;最优解=(34/5,0,0,7/5。(2)解:系数矩阵A是:令A=(,),线性无关,以(,)为基,有:+2=7-3-42+=3-2令 ,=0得=-1/3,=11/3 基解=(-1/3,11/3,0,0为非可行解;同理,以(,)为基,基解=(2/5,0,11/5,0是可行解=43/5;以(,)为基,基解=(-1/3,0,0,11/6是非可行解;以(,)为基,基解=(0
5、,2,1,0是可行解,=-1;以(,)为基,基解=(0,0,1,1是=-3;最大值为=43/5;最优解为=(2/5,0,11/5,0。1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题,并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。(1)max z=2+ 3+515 6+224,0(2)max z=2+542123+218,0解:(图略)(1)max z=33/4 最优解是(15/4,3/4)单纯形法:标准型是max z=2+0+0s.t. 3+5+=15 6+2+=24 ,0单纯形表计算:2100b0153510502462014-z0210003041-1/23/42411/301/612-z-
6、801/30-1/313/4011/4-1/8215/410-1/125/24-z-33/400-1/12-7/24解为:(15/4,3/4,0,0 Max z=33/4迭代第一步表示原点;第二步代表C点(4,0,3,0;第三步代表B点(15/4,3/4,0,0 。(2)解:(图略) Max z=34 此时坐标点为(2,6)单纯形法,标准型是:Max z=2+5+0+0+0s.t. +=4 2+=12 3+2+=18,0(表略)最优解 X=(2,6,2,0,0 Max z=34迭代第一步得=(0,0,4,12,18表示原点,迭代第二步得=(0,6,4,0,6,第三步迭代得到最优解的点。1.5以
7、1.4题(1)为例,具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时,满足约束条件的可行域的每一个顶点,都可能使得目标函数值达到最优。解:目标函数:max z=+(1)当0时 =-(/)+z/ 其中,k=-/=-3/5,=-3l k 时, ,同号。当0时,目标函数在C点有最大值当0时,目标函数在原点最大值。l k时,同号。当0, 目标函数在B点有最大值;当0,目标函数在原点最大值。l k 0时, 同号。当0时,目标函数在A点有最大值当0时,目标函数在原点最大值。l k 0时, ,异号。当0, 0时,目标函数在A点有最大值;当0, 0时,目标函数在C点最大值。l k= 时, 同号当0时,目标函数在AB线
8、断上任一点有最大值当0,目标函数在原点最大值。l k= 时, 同号。当0时,目标函数在BC线断上任一点有最大值当0时,目标函数在原点最大值。l k=0时,=0当0时,目标函数在A点有最大值当0,目标函数在OC线断上任一点有最大值(2)当=0时,max z= l 0时,目标函数在C点有最大值l 0时,目标函数在OA线断上任一点有最大值l =0时,在可行域任何一点取最大值。1.6分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性问题,并指出属于哪类解。(1)max z=2+3-5+152-5+24,0(2)min z=2+3+4+283+26,0(3)max z=10+15+125+3+9-5+6+1
9、5152+5,0(4)max z=2-+2+6-2+22-0,0解:(1)解法一:大M法化为标准型:Max z=2+3-5-M+0-Ms.t. +=7 2-5+-+=10,0 M是任意大整数。单纯形表:23-5-M0-Mb-M71111007-M102-510-115-z17M3M+23-4M2M-50-M0-M207/21/211/2-1/24/7251-5/21/20-1/21/2-z2M-100(7/2)M+80.5M-600.5M+1-1.5M-134/7011/72/71/7-1/7245/7106/75/7-1/71/7-z-102/700-50/7-M-16/7-1/7-M+1/
10、7最优解是: X=(45/7,4/7,0,0,0 目标函数最优值 max z=102/7有唯一最优解。解法二:第一阶段数学模型为 min w= + S.t. + + =72 -5 + - + =10,,,0(单纯形表略)最优解X=(45/7,4/7,0,0,0 目标函数最优值 min w=0第二阶段单纯形表为:23-50b34/7011/71/7245/7106/7-1/7-z-102/700-50/7-1/7最优解是X=(45/7,4/7,0,0,0 Max z=102/7(2)解法一:大M法=-z 有max =-min (-)=-min z化成标准形:Max =-2-3-+0+0-M-MS
11、.T. +4+2-+=4 3+2-+=6 ,,,,0(单纯性表计算略)线性规划最优解X=(4/5,9/5,0,0,0 ,0 目标函数最优值 min z=7非基变量的检验数=0,所以有无穷多最优解。两阶段法:第一阶段最优解X=(4/5,9/5,0,0,0,0 是基本可行解,min w=0第二阶段最优解(4/5,9/5,0,0,0,0 min z=7非基变量的检验数=0,所以有无穷多最优解。(3)解:大M法加入人工变量,化成标准型:Max z=10 +15 +12 +0 +0 +0 -M s.t. 5 +3 + + =9 -5 +6 +15 + =15 2 + + - + =5 ,,,,0单纯形表计算略当所有非基变量为负数,人工变量=0.5,所以原问题无可行解。两阶段法(略)(4)解法一:大M法单纯形法,(表略)非基变量的检验数大于零,此线性规划问题有无界解。两阶段法略1.7求下述线性规划问题目标函数z的上界和下界;Max z=+其中:,解:l 求Z的上界Max z=3+6s.t. -+212 2+414,