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1、机机 械械 优优 化化 设设 计计 报报 告告 REPORT FOR OPTIMAL DESIGN OF MACHINE 作业题目 黄金分割一维搜索方法 作者姓名作者姓名 黎 原 作者学号作者学号 S12080203030 学科专业学科专业 机械设计及理论 指导教师指导教师 杨立坡教授 2012 年年 12 月月 研究生机械优化设计报告研究生机械优化设计报告 黄金分割一维搜索方法 硕士研究生 黎 原 硕士生学号 S12080202030 导师 杨利坡教授 学科专业 机械设计及理论 所 在 单 位 机械工程学院 Report in Mechanical Design and Theory THE
2、 GOLDEN SPLITING ONE DIMENSIONAL SEARCHING METHOD by Li Yuan Supervisor Professor Yang Lipo Yanshan University December 2012 摘 要 I 摘 要 最优化理论和方法日益受到重视 已经渗透到生产 管理 商业 军事 决 策等各个领域 而最优化模型与方法广泛应用于工业 农业 交通运输 商业 国 防 建筑 同学 政府机关等各个部门及各个领域 伴随着计算机技术的高速发展 最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展 其中 MATLAB 软件已经成为最优化领域应用最
3、广的软件之一 有了 MATLAB 这个强大的计 算平台 既可以利用 MATLAB 优化工具箱中的函数 又可以通过算法变成实现相应 的最优化计算 在最优化计算中一维最优化方法是优化设计中最简单 最基本的 方法 一维搜索 又称为线性搜索 一维问题是多维问题的基础 在数值方法迭代 计算过程中 都要进行一维搜索 也可以把多维问题化为一些一维问题来处理 一 维问题的算法好坏 直接影响到最优化问题的求解速度 而黄金分割法是一维搜索 方法中重要的方法之一 它适用于任何单峰函数求最小值的问题 甚至于对函数可 以不要求连续 是一种基于区间收缩的极小点搜索算法 关键词 最优化 黄金分割法 MATLAB 算法 一维
4、搜索 Abstract II Abstract Optimization theory and methods which have been paid more attention have penetrated into the production management business military decision making and other fields and optimization models and methods widely used in industry agriculture transportation commerce defense constr
5、uction students government various departments and agencies and other fields With the rapid development of computer technology optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly MATLAB software has become the most
6、 optimization software is one of the most widely used With this powerful computing platform MATLAB we can use not only MATLAB optimization toolbox in the function but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation In the calculation of one dimensional optimization method
7、 is to optimize the design of the simplest most basic method One dimensional search also known as linear search one dimensional problem is multi dimensional problem based on iterative methods in numerical calculation should be one dimensional search can also multi dimensional problem into a number o
8、f one dimensional problem to deal with One dimensional algorithms are directly affected by the speed of solving optimization problems The golden section method as a one dimensional search method is one important method which applies to any single peak function for the minimum of the problem even on
9、the function that does not require a continuous The golden section method is a very small point search algorithm based on a interval based contraction Keywords Optimization Golden section method MATLAB Algorithm One dimensional search 目 录 III 目 录 摘 要 I ABSTRACT II 第 1 章 绪 论 1 第 2 章 最优化方法基本原理 2 2 1 无
10、约束问题的最优性条件 2 2 2 搜索区间的确定 2 第 3 章 黄金分割法的基本原理与思想 4 3 1 黄金分割法的基本思路 4 3 2 黄金分割法的基本原理与步骤 4 3 3 黄金分割 0 618 算法 5 3 4 算法流程图 6 第 4 章 优化程序的计算结果及其分析 7 4 1 用MATLAB编写源程序 7 4 2 源程序计算过程及结果 7 第 5 章 一维搜索优化的比较和分析 9 5 1 进退法的原理及特点 9 5 1 1 算法思想 9 5 1 2 计算步骤 9 5 2 插值法的原理及特点 9 5 2 1 算法原理简介 9 5 2 1 插值算法计算过程 9 总 结 11 附 录 12
11、 一 无约束优化方法程序考核题 12 1 牛顿法的 Matlab 编程源程序 12 2 牛顿法编程的计算结果 14 二 约束优化方法程序考核题 14 1 Matlab 自带函数编程的源程序 14 2 程序运行的结果 16 参考文献 17 第 1 章 绪 论 1 第 1 章 绪 论 数学科学不仅是自然科学的基础 也是一切重要技术发展的基础 最优化方法 更是数学科学里面的一个巨大的篇幅 在这个信息化的时代 最优化方法广泛应用 于工业 农业 国防 建筑 通信与政府机关 管理等各个部门 各个领域 它主 要解决最优计划 最优分配 最优决策 最佳设计 最佳管理等最优化问题 而最 优解问题是这些所有问题的中
12、心 是最优化方法的重中之重 在求最优解问题中 有多种方法解决 我们在这里着重讨论无约束一维极值问题 即非线性规划的一维 搜索方法之黄金分割法 黄金分割法也叫 0 618 法 属于区间收缩法 首先找出包 含极小点的初始搜索区间 然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区 间 当然要保证极小点始终在搜索区间内 当区间长度小到精度范围之内时 可以 粗略地认为区间端点的平均值即为极小值的近似值 所以用 0 618 法得出的是比较 精确的最优解了 本次作业程序的运行环境是 matlab7 0 版本的运行环境 硕士研究生机械优化设计报告 2 第 2 章 最优化方法基本原理 2 1 无约束问题的最优性
13、条件 无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据 为此我们有以下几个定理 定理定理 1 设在点处可微 若存在 使 1 RRf n n Rx n Rp 0 pxf T 则向量是在处的下降方向 pfx 定理定理 2 设在点处可微 若是无约束问题的局部最优解 1 RRf n n Rx x 则 0 xf 由数学分析中我们已经知道 使的点 x 为函数 f 的驻点或平稳点 0 xf 函数的一个驻点可以是极小点 也可以是极大点 甚至也可能既不是极小点也不f 是极大点 此时称它为函数的鞍点 以上定理告诉我们 是无约束问题的局部f x 最优解的必要条件是 是其目标函数的驻点 xf 现给出
14、无约束问题局部最优解的充分条件 定理定理 3 设在点处的海赛矩阵存在 若 1 RRf n n Rx 2 xf 0 xf 并且正定 则是无约束问题的严格局部最优解 2 xf x 一般而言 无约束问题的目标函数的驻点不一定是无约束问题的最优解 但对 于其目标函数是凸函数的无约束凸规划 下面定理证明了 它的目标函数的驻点就 是它的整体最优解 定理定理 4 设 是上的可微凸函数 若有 1 RRf n n Rx f n R 0 xf 则是无约束问题的整体最优解 x 2 2 搜索区间的确定 在一维搜索时 我们假设函数具有如单谷性 即在所考虑的区间内部 f 函数有唯一的极小点 为了确定极小点 所在的区间 a
15、 b 应使函数 f 第 2 章 最优化方法基本原理 3 在 a b 区间里形成 高 低 高 趋势 f 为此 从 0 开始 以初始步长 h0向前试探 如若函数值上升 则步长变号 即改变试探方向 如果函数值下降 则维持原来的试探方向 并将步长加倍 去鉴 定的始点 中间点依次沿试探方向移动一步 此过程一直进行到函数值再次上升为 止 即可找到搜索区间的终点 最后的得到的三点即为搜索区间的始点 中间点和 终点 形成函数值的 高 低 高 趋势 硕士研究生机械优化设计报告 4 第 3 章 黄金分割法的基本原理与思想 3 1 黄金分割法的基本思路 黄金分割法适用于区间上的任何单股函数求极小值问题 对函数除要求
16、 ba 单峰 外不做其他要求 甚至可以不连续 因此 这种方法的适应面非常广 黄 金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法 即在搜索区间内适当 ba 插入两点 并计算其函数值 将区间分成三段 应用函数的单峰性 1 a 2 a 1 a 2 a 质 通过函数值大小的比较 删去其中一段 是搜索区间得以缩小 然后再在保留 下来的区间上作同样的处理 如此迭代下去 是搜索区间无限缩小 从而得到极小 点的数值近似解 3 2 黄金分割法的基本原理与步骤 一维搜索是解函数极小值的方法之一 其解法思想为沿某一已知方向求目标函 数的极小值点 一维搜索的解法很多 这里主要采用黄金分割法 0 618 法 黄金分割法是用于一元函数在给定初始区间内搜索极小点的一种 xf ba a 方法 它是优化计算中的经典算法 以算法简单 收敛速度均匀 效果较好而著称 是许多优化算法的基础 但它只适用于一维区间上的凸函数 即只在单峰区间内才 能进行一维寻优 其收敛效率较低 其基本原理是 依照 去劣存优 原则 对称原则 以及等比收缩原则来逐步 缩小搜索区间 具体步骤如下 在区间内取点把分为三段 如果 令 ba 1 a 2 a
